复习参考题精品学案

三角函数与解三角形的综合问题

C所对的边分别为a、b、1．在△ΑΒC中，角A、B、.已知3cos(BC)16cosBcosC. （1）求cosA；

（2）若a3，△ΑΒC的面积为22，求、. 【答案】（1）13；（2）b2,c3或b3,c2.

由面积公式得12bcsinA22，则bc6

①. 由余弦定理得cosAb2c2a2b2c22bc91213，则b2c213

②. 联立①②，可得b2,c3或b3,c2. 2．设△ΑΒC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abcosCc2b1．

（1）求角A的大小；

（2）若a1，求△ΑΒC的周长的取值范围．

【答案】（1）π3；（2）(2，3]. 【解析】（1）由已知得acosC12cb，即sinAcosC12sinCsinB，

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又sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，

∴12sinCcosAsinC．

∵sinC0，∴cosA12．

又∵A(0，π)，

∴Aπ3．

（2）由正弦定理得basinBsinA223sinB，c3sinC，

∴sinπB612，1．

故△ΑΒC的周长的取值范围是(2，3]．

3．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinAacosC. （1）求角C的大小；

（2）求3sinAcos(Bπ4)的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小．【答案】（1）ππ54；（2）最大值为2，此时A3,Bπ12.

【解析】（1）由正弦定理得sinCsinAsinAcosC.

因为0Aπ,

所以sinA0.从而sinCcosC.

又cosC0,

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π. 43πA.

（2）由（1）知B4ππ于是3sinAcos(B)3sinAcos(πA)3sinAcosA2sin(A).

463π0A,

4ππ11πA,

6612ππππ从而当A,即A时，2sin(A)取最大值2．

6263ππ5π.

综上所述，3sinAcos(B)的最大值为2，此时A,B4312所以tanC1,则C4．已知a,b,c分别是△ΑΒC的三个内角A,B,C所对的边，且满足(2ba)cosCccosA. （1）求角C的大小；

in（2）设y43s的形状. 【答案】（1）2A2sin(CB)，求y的最大值并判断当y取得最大值时△ΑΒC2；（2）最大值为223，此时△ΑΒC为直角三角形.. 3

2（2）y43sinA2sin(CB)

223(1cosA)2sin(A)

323(1cosA)sinA3cosA

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sinA3cosA23

2sin（A）23，

32)得，当A时，y取得最大值223，此时△ΑΒC为直角三角形. 由A(0,365．在△ABC中，，，分别是角A，B，C的对边，且3cosAcosCtanAtanC11. （1）求sin2B5π的值；

6（2）若ac33，b3，求△ABC的面积. 2【答案】（1）746152

；（2）. 1832

222（2）由余弦定理得bac2accosBac2ac2accosB，

2∵ac∴333，b3，

2271452ac2ac，即ac，

4332∴S△ABC1152. acsinB232

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6．已知函数fxsin2xsin2x图象关于直线x对称. （1）求函数fx的最小正周期；

1(xR,1）为常数且，函数fx的26（2）在△ΑΒC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a1,f积的最大值. 【答案】（1）31A，求△ΑΒC面5463；（2）. 541cos2x1cos2x3【解析】（1）fxsin2xsin2x

2261113131cos2xsin2x2cos2x22sin2x2cos2x222

1sin2x. 26

（2）15fxsinx,236

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1131fAsinA,即sinA，

6462525A,666

A,A,663

0A,a1,1b2c2bc2bcbcbc，即bc1,当且仅当b=c时等号成立. 133，

S△ABCbcsinAbc244△ABC面积的最大值为3. 427．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（1）求角A的大小；

（2）若aBC1sinBsinC．

247，△ABC的面积为2π；（2）3. 33，求bc的值．

2【答案】（1）A【解析】（1）由已知得1cosBC2sinBsinC1，

4

所以b＋c＝3．

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8．在△ΑΒC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＋b＋2ab=c. 222（1）求C；

（2）设cos Acos B＝232cos(A)cos(B)，，求tan的值．

2cos55【答案】（1）3π；（2）1或4. 4222【解析】（1）因为a＋b＋2ab=c，

a2b2c22ab2所以由余弦定理有cos C=，

2ab2ab2故C3π. 4

3π，

4π所以A＋B=，

4因为C所以sin(A＋B)=2. 2322－sin Asin B=，

52因为cos(A＋B)=cos Acos B−sin Asin B，即则sin Asin B=23222. 5210代入①得tanα−5tan α＋4=0，解得tan α=1或tan α=4.

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9．设fxsinxcosxcosx2. 4（1）求fx的单调区间；

（2）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若fA0,a1,求△ABC面2积的最大值. 【答案】（1）4k,4kkZ（2）234. 1cos2x【解析】（1）由题意知fxsin2x222

sin2x1sin22x2sin2x12. 由22k2x22k,kZ，可得4kx4k,kZ；

由322k2x22k,kZ，可得4kx34k,kZ. 所以函数fx的单调递增区间是4k,4kkZ；

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所以△ABC面积的最大值为23. 410．在△ΑΒC中，内角A，，BCb，c的对边分别为a，，已知cos3sBinBcosC3siCn

4cosBcosC. （1）求角A的大小；

（2）若sinBpsinC,且△ΑΒC是锐角三角形，求实数p的取值范围．

【答案】（1）1；（2）(,2). 32

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∴实数p的取值范围是(,2). 11．在△ΑΒC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足acosBbcosA. （1）判断△ΑΒC的形状；

（2）求sinBcosA12的取值范围. 61,1. 2【答案】（1）等腰三角形；（2）【解析】（1）由acosBbcosA及正弦定理，得sinAcosBsinBcosA，即. sinAB0在△ΑΒC中，有AB，

所以AB0，即AB. 所以△ΑΒC是等腰三角形. （2）由（1）知AB, 则3113sinBcosAsinAcosAsinAsinAcosAsinA

，622223因为AB，

所以0A5，则A，

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所以1sinA1，

231的取值范围是,1. 62π15对称，其中ω∈(，). 322于是sinBcosA12．已知函数fx3sin2xcos2x的图象关于直线x（1）求函数f(x)的解析式；

（2）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，锐角B满足f(Bπ25，)2123b=2，求△ABC面积的最大值．

【答案】（1）f(x)＝2sin(2x)；（2）π65. 2

（2）由（1）知f(Bπ255，所以sin B=，

)2sinB21233π，

2因为B为锐角，所以0＜B＜所以cosB2，

3a2c2b2a2c2b22，

因为cosB，所以2ac32ac所以4aca2c222ac2，

3所以ac≤3，当且仅当a=c=3时，ac取到最大值3，

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所以△ABC面积的最大值为1155acsin B=×3×=. 2232bsinB，13．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知asinA4ac5(a2b2c2)．

（1）求cosA的值；

（2）求sin(2BA)的值．

【答案】（1）525；（2）．

55

于是sin2B2sinBcosB432，cos2B12sinB，

55故sin(2BA)sin2BcosAcos2BsinA4532525．

()55555（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．

14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acos B. （1）证明：A=2B；

（2）若cos B=2，求cos C的值．

3

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【答案】（1）证明详见解析；（2）cosC22. 27

故cosA145，sinA，

9922. 27cosCcos(AB)cosAcosBsinAsinB（1）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有Α，Β的式子，根据角的范围可证Α2Β；（2）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得cos2Β，进而可得cosΑ和sinΑ，再用两角和的余弦公式可得cosC．

15．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知asin2B3bsinA. （1）求B；

（2）若cosA1，求sinC的值. 3【答案】（1）Bπ261；（2）. 66ab，可得asinBbsinA，

sinAsinB【解析】（1）在△ABC中，由又由asin2B3bsinA，得2asinBcosB3bsinA3asinB，

所以cosB

π3，得B；

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（2）由cosA122，可得sinA，

33π6则sinCsin[(AB)]sin(AB)sin(A)31261. sinAcosA226三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.

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