2.1.3 相等向量与共线向量教学目标设计

2.2.3 《向量的数乘运算及几何意义》教学设计

一、教材分析：

向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.但是引进向量，而不研究它的运算，则向量只是起到一个路标的作用；向量只有引进运算后才显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义. 向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是数乘向量与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l就可以用点A和某个向量a表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系. 二、学情分析：

学生在已经学习了近一学期的高中课程内容后，在思想和思维模式上已经适应了高中的课程和高中的教学方式。学生能适应自主探究、师生互动的学习方式，动手操作能力强，勇于创新，敢于发表自己的见解。只要教师创设情境合理，精心设计问题串，循序渐进层层深入，学生能很快地构建起新的数学知识，教师只要作必要的归纳，就会帮助学生上升到理性认识的层面。同时为了更熟练地掌握知识和应用知识，需加强学生的课堂练习。

三、教学目标：

1、通过经历探究数乘运算法则及其几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量积的运算律。

2、通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行。

3、通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用。

四、教学重难点

教学重点：

1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义；

2．熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律；

3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线。

教学难点：对向量共线的等价条件的理解以及运用。

五、教具选取

电子白板，电子展台

1

六、教学基本流程

明确本节学习目标

实例“小蚂蚁爬绳”引入

探究：观察、发现和类比

向量数乘运算的定义及其几何意义

练习各显身手

三个作图总结小题

向量数乘运算律及其几何意义

练习牛刀小试

共线向量定理

例1、变式讲解

例2讲解

变式一、变式二讲解

课堂小结

归纳总结

作业布置

2

七、教学过程

教学环节

复习回顾

引入新课

已知非零向量a，作出a+a+a和（a教学内容

向量的加法、向量的减法

教师活动

学生活动

设计意图

教师提问

学生回答

复习回顾，引发新知

明目标

实例“小蚂蚁爬绳”

数学建模：

问题1：想一想：它们的大小和方向有什么变化？

学生共同朗读

学生作图，观察并思考

让学生明确本节课的学习目标

认识和理解向量数乘的几何意义必须从几何直观入手，即通过让学生自己作图，以及独立观察、思考，让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识，进而为下一步对向量的数乘的定义及其几何意义的理性认识作好铺垫。

）+（a）+（a）

新课讲解

实数与向量的积的定义：

积是一个向量，记作度与方向规定如下：

（1）|a（2）当0时，的方向相同；

当aa问题2：请大家根a小组合学生单独作答

通过引出向量的数体会从特殊到一般的思想方法

一般地，实数与向量的据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？

作交流，乘的定义，让学生，它的长||||a|；

a的方向与aa0时，的方向与的方向相反；

当0

时，a0．

几何意义：是把向量a沿a的方向或反方向伸长或缩短倍。

问题3：你能说明小组合学生单独作答

从直观入手，从具通过师生互动，得到向量数乘的几何意义

数学中引进一个新的量自然要看看它它的几何意义吗？

作交流，体开始，逐步抽象。

（1）求作向量3(2a)和6a(a为问题4：数的运算和运算律是紧密相3 小组交流探讨

非零向量)，并进行比较。

连的，运算律可以有效地简化运算。通过三组向量的对的运算律，你能说吗？

的运算及其运算律的问题。向量运算可以与学生熟悉的数的运算进行类比，从中得到启发。而书的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效的简化运算。类比数的乘法的运算律引出数乘向量的运算律。

（2）已知向量 a(a为非零向比及类比数的乘法量)，求作向量（22a3a3）a和出数乘的运算律并进行比较。

（3）已知向量a、b，求作向量2(a

b)和2a2b，并进行比较。

实数与向量的积的运算律：

（1）(a)()a教师板书

学生回答讨论结果

（结合律）；

a（2）()aa分配律）；

（a+b）=a（3）配律）．

（第一b（第二分

牛刀小试：

（1）(3)（2）3(a（3）

4a提问、及时评价

独立完从心理学认为：概及时巩固，通过本题加深学生对数乘向量运算律的理解。

； ；

．

成，抢答

念一旦形成，必须b)2(ab)a(2a3bc)(3a2bc)

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意的向量a,b，以及任意实数,1,2，恒

本节作为向量线性运算的最后一节，有必要综合认识向量线性运算。

有(1a2b)1a2b

对于向量a(a0)、b，如果问题6：引入数乘向量后，你能发现数乘向量与原向量的位置关系吗？

1) a为什么合独立作答.

师生共同活动理；引导学生理解向量共线只需看这两个向量的方向相同或是相反，在向量a(a0)作交流，引出向量共线的定有一个实数，使ba向量数乘的定义知a，那么由共线，且与b思考:

要是非零向量? 向量b是向量a(a0)模的倍，2) b可以是而的正负由向量a(a0)的前、b的提下，向量a(a0)零向量吗? 3) 怎样理解4 方向所决定.

、b共

向量平行？与两直反过来，已知向量a与b共线，a0，且向量b的长度是向量a线，当且仅当有一个实数，使得ba；且实数线平行有什么异同？

的长度的倍，即ba，那么的唯一性是由向量a和b的模和方当a与b同方向时，有ba；当a与b反方向时，有ba. 向同时决定. 通过学生合作交流，促进学生合作的集体意识；通过学生独立作答，提高学生分析问题、解决问题的能力.

引导学生思考

学生单独作答

从心理学认为：概念一旦形成，必须及时巩固

从上述两方面可知

（板书）共线向量定理：向量a(a0)、b共线，当且仅. ba当有一个实数，使得

各显身手

1.

判断下列各小题中的向量

a与b是否共线

(1)a2e,b2e(2)ae1e2,b2e12e2(3)ae1e2,be12e2引导学生思考，点评学生的解法，由学生总结

K值。学生板书解题过程

从心理学认为：概念一旦形成，必须及时巩固



2.设e1,e2是两个不共线向量，

AB2e1ke2，CBe13e2，若

A、B、C三点共线，求例1.如图，点c在线段AB上，且AC=5，BC=2，则有

（1）AC

（3）BC AB；（2）CA AC AB；引导学生思考

学生思考作答

使学生明确：有了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以得到向量表示，这是利用向量解决几何问题的重要步骤.

变式：

平行四边形ABCD的两条对 角线相交于点M，且 =a， =b，

、 试用a、b表示

、 。

5

例2、如图DEAE3BC是否共线，已知.试判断AD3AB，引导学生思考

AC与学生思考作答

共线向量定理的应用一：判断两向量是否共线

变式一：如图AD，已知3BC引导学生思考

学生思考作答

共线向量定理的应用二：判断三点共线

3AB，DE.试判断A、C、E三点的位置关系。

变式二：如图AD求证：，已知引导学生思考

学生思考作答

共线向量定理的应用三：判断直线平行

3AB，AE3AC.

课堂小结

BC//DE一、①

a的定义及运算律；

引导学生体会本节，学习中用到的思想方法：特殊到一般，归纳，猜想，类比，分类讨论，等价转化.

1.知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质.2.运用数学方法，创新素质的小结能让学生更系统，更深刻地理解数学理想方法在解题中的地位和作用，并且逐渐培养学生的良好个性品质.3.由学生口头表述，不仅可以提高学生的综合概括能力，还能提高学生的口头表达能力.

②

向量共线定理(a0)ba

向量a与b共线. 二、

定理的应用：

（1）

证明向量共线；

（2）

证明三点共线；B、C三点共线；

ABBCA、（3）

证明两直线平行：

ABCD,,AB与CD不在同一条直线上直线AB∥直线CD.

三、你体会到了那些数学思想.

课后作业

教材P91，A组9—13题

（选做）B组3、4、5

课后思考：

已知三点A、B、C共线，教师布置

学生记作业

分层布置作业，让每个学生都得到发展。

课后的思考题让学生通过思考发

O是平面内任意一点，若有OC试求证OAOB，

现三点共线的另一种形式。培养学生的综合能力。

1

6

八、板书设计

2.2.3向量数乘的运算及其几何意义

1.

向量数乘的定义； 例题讲解：2 2.数乘向量的运算律； 例1 3.共线向量定理； 例2、变式一、变式二

九、课后反思

向量数乘运算及其几何意义是继向量的加法、减法之后的基本运算，为了正确的认识向量数乘运算及其几何意义，首先复习了向量的加法、减法，然后通过“蚂蚁爬绳”建立学生比较熟悉的模型，引入主题。本节课总共设置三个探究题，目的是通过学生自主探究、合作释疑，参与知识形成的过程。我的教学的一个理念是：体现学生的主体地位，培养学生科学的探究能力。设计本节课之后，我想让学生在知识上：掌握向量数乘的定义、运算律及其几何意义，理解两个向量共线的含义并能解决：向量共线、三点共线、直线平行等问题。在能力上：培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作交流的能力。通过对例题的分析，使学生掌握解题的思想和方法；对变式训练的操作，使学生巩固知识点的掌握。希望通过本节课，能更好的培养学生的创新能力。

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