2.1.2 向量的几何表示课堂实录

高中数学新课标必修③课时计划

东升高中高一备课组

授课时间: 2006年

月

日(星期

)第

节

总第

课时

第一课时

2.2. 1

向量的加（减）法运算及其几何意义

教学要求：掌握向量的加法与减法的意义与几何运算，会运用三角形法则、平行四边形法则进行向量的加（减）法运算

教学重点：运用三角形法则、平行四边形法则运算

教学难点：向量加法、减法的几何意义

教学过程：

DA一、复习准备：

1. 如何定义相等向量和共线向量？

O2．如图：O是正方形ABCD的中心，①向量AB与BC相等吗？

②

向量AO与AC是平行向量吗？

③ 求AD：AC的值. BCa3．回顾思考：力是向量，如何求a、b这两个力的合力呢？用什么方法？

co二、讲授新课：

b1. 教学向量的加（减）法运算：

①

向量的加（减）法：求两向量和（差）的运算叫向量的加（减）法运算

②

三角形法则：向量AB与BC相加时，AB的终点B作为BC的起点，这时起点A到终点C

C ABBCAC. 这种求向量和的方法叫三角形法则.

（ABACCB）

a+b

b （注意：两个向量要“首尾”相接）

③平行四边形法则：由同一点A为起点的两个已知向A

a

B 量a,b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的向的向量AC就是这两个向量的和向量，即

量AC就是向量a,b的和. 这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则，如右图：

④讨论：三角形法则、平行四边形法则是否对所有向量a,b求和都适用？

（注意：平行四边形法则对于两个向量共线时不适用. ）

⑤定义相反向量：与向量a的长度相等、方向相反的向量叫做向量a的相反向量，记作：a

规定零向量的相反向量仍是零向量.

注：向量ab可以看成是a(b)

2．

教学例题：

①

课本P90例1、P95例3，P96例4.

（师生共同完成，注意两种法则的区别，然后变式——加变减、减变加）

②

练习：课本93页第1、2题.

③

讨论：ab与ab、ab与ab有何关系.

④

用三角形法则、平行四边形法则探讨向量的加减运算是否满足交换律、结合律.

⑤

P90例2. （向量的实际应用，师生共同完成；变式：

若船行走的路线是垂直于河岸，求速度）

三、巩固练习：

1．如右图，画出ab. 2.如图，D、E、F分别为三边的中点，试画出AB-BC、BCAB、DEDF

3.作业：93页第1、2题. 教学后记：

板书设计：

CEAFD第2题B

高中数学新课标必修③课时计划

东升高中高一备课组

授课时间: 2006年

月

日(星期

)第

节

总第

课时

第二课时

2.2. 3

向量数乘运算及其几何意义

教学要求：理解向量的数乘运算及其几何意义，会进行向量的数乘运算.

教学重点：向量的数乘运算

教学难点：向量的数乘运算的几何意义

教学过程：

一、复习准备：

A1. ab与ab、ab与ab有何关系？什么时候等号成立？

2．如图：O是正方形ABCD的中心，求下列各式的值

①AB+BC ②

AB-AC B3．a

为非零向量，试求aaaa和aaaaa的值.

二、讲授新课：

1. 教学向量的数乘运算：

①

向量的数乘：求实数与向量a的乘积的运算叫向量的数乘，记作：a

规定：(Ⅰ)

a仍然是个向量

(Ⅱ)、aa

ODC(Ⅲ) 当0时向量a的方向与a的方向相同，当0时，向量a与a的方向相反，

当0时，a0

②

练习：a为单位向量，试求3(a)、2a、6a、2(3(a))的值：变式：a为非零向量.

③

讨论验证下列等式：、为实数，a、b为向量.

⑴

(a)()a

⑵

()aaa

⑶

(ab)ab

（数乘运算满足交换律、结合律、分配律）

2、教学例题：

①

例5：计算：⑴(3)4a

⑵

3(

⑶(2a3bc)2(3a2bc)

ab)2a(b)

a（去括号，实数与实数运算后再与向量运算）

②

定理：向量a与b共线（b0），当且仅当有唯一一个实数，使ab.

③

出示例题6：（分析：三点可分共线与不共线两种情形，可以通过判断以这三点为端点的向

量是否共线来判断点是否共线）

D

C

④

定义线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.

⑤

出示例题7. （先找出与a、b向量共线的向量，再利用定理）

O ⑥

练习：如图，试用向量方法证明：对角线互相平分的四

边形是平行四边形

3．小结：向量的数乘运算;两向量a(a0)与b共线满足ab

A

B

三、巩固练习

2123232．

已知向量，求作向量c，使abc0,表示的有向线段能构成三角形吗？

13．求证：M是线段AB的中点，对于任意一点O，都有om(OAOB)

214．在三角形ABC中，AEAB，EF∥BC交AC于F点，试用AB、AC表示BF.

51．

计算：（1）2(2abc)6(3abc)

（2）(ab)2(ab)a

5．作业：课本第100页第4、5题.

教学后记：

板书设计：

34

高中数学新课标必修③课时计划

东升高中高一备课组

授课时间: 2006年

月

日(星期

)第

节

总第

课时

第三课时

2.2. 3

向量的相关概念及向量线性运算（练习）

教学要求：掌握向量的相关概念，能熟练进行向量的线性运算.

教学重点：向量的线性运算，掌握向量运算的几何作图.

教学难点：向量的线性运算.

教学过程：

一、相关概念：

1.

回顾向量、零向量、单位向量、平行向量、、共线向量、相反向量相等向量是如何定义的.

（是否是零向量、单位向量只需判断长度，要判断是否为相等向量、共线向量、相反向量则还要看方向）

2．向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.

3．要判断两向量是否共线，只需证明ab(a0).

4．回答下列问题：

①

平行向量是否一定方向相同？

②

不相等的向量一定不平行吗？

B③

与零向量相等的向量必定是什么向量？

④

与任何向量都平行的向量是什么向量？

⑤

若两个向量在同一直线上，则这个向量一定是什么向量？

C ⑥

两个非零向量相等的充要条件是什么？

⑦

共线向量一定在同一条直线上吗？

（向量是仅由其大小与方向确定，特别要注重方向）

⑧

指出右图出的平行向量、相等向量、共线向量、相反向量.

D 5．求两向量的和、差我们一般用三角形法则和平行四边形法则. （注意，运用三角形法则时要注意两向量首尾相接，共线的两向量不适用）

二、教学例题：

式：减变成加. （减法运算是加法运算的逆运算）

例2．

计算：（1）2(2abc)6(3abc) （2）(ab)2(ab)a

（向量的数乘运算满足交换律、结合律、分配律）

三、巩固练习：

A O F E 例1．

已知单位向量a,b,c,d（方向分别为：东、南、西、北）求作向量ab、cd. 变342312231．平行四边形ABCD中，ABa,ADb，试用a、b表示向量AC,DB

2．证明：ababab并说明什么时候取等号？

（提示：用三角形法则画图证明）

3．四边形ABCD的两条对角线相交于点M（1）若ABe1,ADe2，

PANkC 用e1.e2表示MA、MB、MD（2）若ACa.BDb用a、b表示QMBAB、BC

4.

如图，知三角形ABC的两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN的延长线上取点P，使得

NP=BN，在CM的延长线上取点Q，使MQ=CM. 试证明：P、A、Q共线. 教学后记：

板书设计：