二次根式的混合运算第二课时 公开课

16.1

二次根式

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目. 2、理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简. 【重点难点】

1、二次根式的性质. 2、能确定二次根式中字母的取值范围.

知识概览图

二次根式的有关概念

二次根式：一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式

代数式：由基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式

①被开方数a非负，即a≥0

②a本身非负，即a≥0

二次根式的双重非负性

二次根式二次根式的性质

2

(a)a(a≥0)

2（）=a（a≥0）

a二次根式的有关公式

a(a＞0)

a2a0(a0)

a(a＜0)

(a)2a2(a≥0)

新课导引

如右图所示，电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越视节目的区域就越广．如果电视塔高h km，电视节目信号的传播远，从而能收到电半径为r km，则它第1页

们之间存在近似关系式，r= 2Rh，其中R是地球半径，R≈6400 km．若某个电视塔高为200 km，则从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少?

【问题探究】

因为R≈6400 km，h＝200 km，所以求传播半径r，实际上就是求26400200的值，即求2560000的值．怎么求2560000的值呢? 【解析】因为16002＝2560000，所以2560000＝1600．

所以r ≈26400200=1600(km) 教材精华

知识点1

二次根式的概念

一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．其中“

拓展

(1)二次根式必须含有二次根号“”读作“二次根号”．

”，虽然16=4，但是4是”．如3，16等都有“二次根式16的计算结果，因此16，121，1.44，9等也都是二次根式. 4

(2)二次根式中的被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一个代数式，但前提是必须保证a有意义，即a≥0，也就是说，被开方数必须是非负数．例如：a2，因为无论

a取什么实数，都有a2≥0，所以a2是二次根式．而x21，2x21都不是二次根式，因为它们虽然都有“”，但是它们的被开方数都是负数，是没有意义的．因此判别二次根式时，不仅要从表达形式上看是否存在“”，而且应注意看被开方数是否是非负数，如果被开方数中含有字母，那么就要考虑字母的取值范围．

(3)“”的根指数为2，即“2”，我们常省略根指数2，写作“”，不要误把“”的根指数当做0．如32就不是二次根式，因为它的根指数是3．

(4)有理数(不是0)与二次根式相乘，把有理数写在二次根式的前面，省略乘号．若有理数是分285的形式，此时的有数，一定要化成假分数再与二次根式相乘，比如：2与5相乘，要写成33理数称为二次根式的系数. 第2页

知识点2

确定二次根式中字母的取值范围

要使a有意义，被开方数a就必须是非负数，即a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围，如2x1，只有当2x+1≥0，即x≥13x时，二次根式2x1才有意义. 再如，对于式子2x13x0,来说，只有当即-1＜x≤3时，二次根式才有意义.

x10,

拓展

对于既含有二次根式，又含有分母的代数式，写字母的取值范围时，既要保证二次根式有意义，又要保证分母不为零.

知识点3

二次根式的性质

二次根式的双重非负性: a≥0，a≥0，因为a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，所以由算术平方根的定义可知a≥0，如3，3等都是非负数. 2（a)2=a（a≥0）. 由于a（a≥0）表示非负数a和算术平方根，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身a，因此有（a)2=a，例如：（3)2=3，（6)2=6，（1.5)2=1.5.

拓展

（1）（a)2=a（a≥0），可以看做是系数为1的二次根式的平方运算，结果等于被开方数. （2）把（a)2=a（a≥0）逆用，写成a=（a)2（a≥0）. 即任何一个非负数都可以写成它的算术平方根平方的形式，利用这一特性，我们可以在实数范围内分解因式，比如：x2-2在有理数范围内无法分解，但在实数范围内，2可以写成（2)2，所以x2-2=x2-（2)2=（x+2）（x-2）. （3）有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用. 比如：

（32)2=32×（2)2=9×2=18. （11316)2=（)2×（6)2=×6=等，则用到了积的乘方法则2422第3页

（ab)2=a2b2.

知识点4

由于

a2的化简

a2表示a2的算术平方根，所以a2的化简结果必须是个非负数. 而当a2有意义时a2（a≥0），这里a可以正，可以负，也可以是0. 为了保证a2的化简结果非负，所以在化简结果中添加绝对值符号，即a2a，然后再根据a的符号化简绝对值. 比如：(5)255. 也可以先把被开方数写成非负数的平方的形式，再化简，比如(5)2525. 如果a2中a的符号a(a0),不确定，那么要讨论. 即a2=a0(a0),

a(a0).

拓展

（a)2与a2的区别与联系，如下表所示：

（a)2

a2

字母a 被开方数a的取值范围为a≥0，即a被开方数a2中的a可取一切实数，也就是的取值

是一个非负数，且（a)2=a. 例如：说，a既可以是正数，也可以是负数，还范围

不同

(2)2，(0)0，(2)无意可以是零. 222a(a0),例如当a2=aa(a0).3233，当a=-3时义

a=3时，(3)233

意义

不同

（a)2=a（a≥0）表示a的算术平a2a表示a的平方的算术平方根. 例方根的平方. 例如(5)25表示5的如：3293

表示3的平方的算术平算术平方根的平方，结果等于5 方根，结果等于3 a2a，其结果有两种形式，与a的取形式

不同

(a)2a（a≥0），其结果只有一种形式，就是非负数a本身

值有关，当a≥0时，a2a，当a＜0第4页

时，a2a

联系

(a)2a（a≥0）是一个非负数

当a≥0时，(a)2a2

a2a≥0是一个非负数

知识点5

代数式

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来s的式子叫做代数式，单独一个数或字母也是代数式. 例如：5，a，a+b，ab，(t≠0)，x3，x21，tx33x(x3)等都是代数式.

拓展

代数式中不含有“＝”

“＞”

“＜”等符号，只有运算符号.

课堂检测

基本概念题

1、下列式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

（1）3；

（2）(3)2；

（3）(3)3；

（4）37；

（5）x；

（6）44；

（7）2a21；

（8）1；

2(x3)（9）(a4)2；

（10）m22m1.

第5页

基础知识应用题

2、当x取何值时，下列各式有意义？

（1）3xx；

（2）2x（3）(x1)2；

（4）x；

x21；

23x（5）2x4x3；

（6）2；

x2x32a12x；

（8）2a.

a1x1（7）

3、实数a，b在数轴上的位置如图21-1所示，化简a2b2(ab)2.

综合应用题

4、（1）三角形的高是底的1，底为xcm，则这个三角形的面积是

cm2; 2图21-1 （2）第一圆的半径是第二个圆的半径的4倍，则这两个圆的周长之和是

（设第一个圆的半径为r）.

第6页

探索创新题

1115、甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简求值2a22,其中a.

aa5甲同学的做法是：

11112149原式＝(a)2=aa10.

aaaaa55乙同学的做法是：

11111原式＝(a)2=aa.

aaaa5谁的做法是正确的？说明理由.

体验中考

1、若代数式x1有意义，则x的取值范围是（

）

x2A. x＞1且x≠2

B.

x≥1 C. x≠2

D.

x≥1且x≠2

2、若x，y为实数，且x2y30，则（x＋y）2010的值为

. 学后反思

第7页

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析

本题考查二次根式的概念，判断一个式子是否是二次根式应满足两个条件：一是看是否含有二次根号“”；二是看被开方数是否是非负数.

解：（1）∵-3＜0，∴3不是二次根式.

（2）∵(-3)2＞0，∴(3)2是二次根式.

（3）∵(-3)3=-27＜0，∴(3)3不是二次根式.

（4）∵37的根指数3，∴37不是二次根式.

（5）由于x中的-x的符号不能确定，因此应分两种情况讨论.

①当x≤0时，x是二次根式；

②当x＞0时，x不是二次根式.

∴x不一定是二次根式.

（6）∵44的根指是4，∴44不是二次根式.

（7）∵-2a2≤0，∴-2a2-1＜0，∴2a21不是二次根式.

（8）∵(x+3)2≥0，当分母x+3=0时，原式没有意义，

∴当x≠-3时，1是二次根式.

2(x3)∴1不一定是二次根式.

(x3)2（9）∵-(a-4)2≤0，∴只有当a-4=0，即a=4时，(a4)2是二次根式；

当a≠4时，-(a-4)2＜0，(a4)2不是二次根式.

综上，(a4)2不一定是二次根式.

（10）∵m2+2m+1=(m+1)2≥0，∴m22m1是二次根式.

第8页

【解题策略】

本题主要考查对二次根式的概念的理解，一定要注意当被开方数中含有字母时，应考虑字母的取值范围，即二次根式a中的a必须是非负数，本题体现了分类讨论思想，在具体解题时，对一个较复杂的问题往往采取分类讨论的思想，以达到化难为易的目的.

2、分析

本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母是二次根式，那么被开方数必须为正数，因为零不能作分母.

3x≥0，解：（1）欲使3xx有意义，则必有x0.

x≥0,

∴当x=0时，3xx有意义.

（2）欲使2x2x≥0，x有意义，则必有x≤0，且x≠-2.

x2x20,x有意义.

x2

∴当x≤0，且x≠-2时，2x

（3）∵(x-1)2≥0，∴无论x取何实数，(x1)2都有意义.

（4）欲使21有意义，则必有2-3x＞0，∴x＜.

323x

∴当x＜21时，有意义.

323x2x4≥0，2x4（5）欲使有意义，则必有x≥-2，且x≠2.

x20,x2

∴当x≥-2，且x≠2时，2x4有意义.

x2x3≥0，x3（6）欲使2有意义，则必有2x≥3.

x3x30,∴当x≥3时，x3有意义.

x23112x12x≥0，x≤，且x≠-1.

（7）欲使有意义，则必有2x1x10,第9页

∴当x≤112x，且x≠-1时，有意义.

2x1（8）欲使2a2a≥0，2a有意义，则必有a≤2，且a≠-1.

a1a10,2a有意义.

a1

∴当a≤2，且a≠-1时，2a【解题策略】

本例中的（2）及（4）~（8）小题应充分考虑到分母不能为零的情况，（6）小题中，由x-3≥0，得x≥3，由x2-3≠0，得x≠±3，而±3均不在x≥3的范围内，所以只需满足11，由x1≠0，得x≠±1，只有x=-1在x≤的范围2211内，而x=1不在x≤的范围内，所以只需满足x≤，且x≠-1即可. 22x≥3即可. （7）小题中，由1-2x≥0，得x≤3、分析

本题考查二次根式的性质，利用公式a2a将形如a2的式子化简.

解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，

∴a2b2(ab)2=abab=-ab[(ab)]=abab=2b. a(a＞0),【解题策略】

解决此题的关键是牢记并理解公式a2a=0(a0),

a(a＜0).

4、分析

由面积公式或周长公式写出代数式即可. （1）底为xcm，则高为xcm，所以三角2r1xx2x（cm2）. （2）因为第一个圆的半径为r，所以第二个圆的半径为，所以形的面积为··4224这两个圆的周长之和为2r2r5r.

425x2答案：（1）

（2）r

24

5、分析

本题主要考查二次根式的性质的创新应用.因为a11，所以＞a，所以5a111(a)2=aa.

aaa第10页

解：甲同学的做法是正确的，理由如下：

∵1111122a2(a)=a，且a，即=5.

a2aa5a1111∴＞a,∴a＞0,∴a-a.

aaaa乙同学在去掉绝对值符号时，忽略了a与1的大小关系，导致错误. a【解题策略】利用a2a进行化简时，a≥0的条件不能忽略，否则a2a.

体验中考

1、分析

本题考查二次根式有意义的条件，被开方数为非负数及分母上含有字母的式子有意义≥0,x1的条件（即分母≠0），由题意知∴x≥1且x≠2.故选D. x2≠0,2、分析

本题主要考查非负数的性质以及二次根式的非负性.由x2y30知x＋2＝0，且y－3＝0，所以x＝－2，y＝3，所以(x＋y)2010＝（－2＋3）2010＝12010＝1.故填1.

16.2

二次根式的乘除

第11页

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、最简二次根式概念；

2、二次根式的乘除法法则及其逆用；

【重点难点】

1、最简二次根式概念；

2、二次根式的乘除法法则及其逆用；

知识概览图

最简二次根式的概念：被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式

的二次根式，叫做最简二次根式

二次根式的乘除

二次根式乘法法则：a·bab(a≥0，b≥0)

二次根式法法则

的乘除

二次根式除法法则：aa(a≥0，b＞0)

bb

二次根式乘除法

二次根式乘法法则的逆用：ab=ab(a≥0，b≥0)

法则的逆用

二次根式除法法则的逆用：

新课导引

aa(a≥0，b＞0)

bb如右图所示，一个直角三角形ABC中，两直角边BC，AC分别是6和勾股定理可知其斜边AB为6210236100136,设这个直角三角形110CD为x，则621136,2610x所以x，利用的是面积“桥”的方法. 13610，那么由斜边上的高【问题探究】610610是最简的结果吗？如果不是，如何对进行化简呢？

136136【点拨】610不是最简的结果，136可以进行化简，首先将136分解因数，即

136第12页

136＝22×34，再将136写成2234234，进一步将分母中的根号化没即可，61060341534.

17136234

教材精华

知识点1 二次根式的乘法

两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即abab(a≥0,b≥0).

拓展

（1）二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式. （2）二次根式的乘法运算公式中的被开方数的取值范围. abab，公式中的a，b必须满足a≥0，b≥0，否则a，b就没有意义. （3）由abab，得abab(a≥0,b≥0)，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质可以化简二次根式，即如果一个二次根式的被开方数中有因数（式）是完全平方数（式），则可以利用性质abab(a≥0,b≥0)及a2a(a≥0)将这些因数（式）开出来，进而将二次根式化简.例如244626,（4）如果没有特别说明，本章中所有字母都为正

知识点2 二次根式的除法

公式x32x2xx(x1)2(x1)x(x≥0).

aa(a≥0,b＞0)可通过二次根式的乘法公式得到：两个二次根式相除，把被开方数＝bb相除，根指数不变.例如：663.

22拓展

（1）当被除式的被开方数能被除式的被开方数整除，可直接利用除法法则.比如：84218442.

21（2）当被除式的被开方数不能被除式的被开方数整除时，或者是被除式是整数而除式是二次第13页

根式时，可以利用分式的基本性质把分母中的根号化去.例如：552

222102232,3等.

23333（3）由aaaa(a≥0,b＞0)，得＝(a≥0,b＞0).可以用语言叙述为：商的算术平方根bbbb等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 在公式aa中：（1）a必须是非负数，b必须是正数；（2）如果被开方数是带分数，应bb11311先化成假分数，如3必须先化成，以免出现33这样的错误. 4444（4）二次根式的除法运算结果要化到最简.

知识点3 最简二次根式

被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.也就是说，若二次根式有如下特点：①被开方数中不含分母，②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，则这个二次根式就是最简二次根式.例如：22,302,a等都是最简二次根式. 10a拓展

（1）判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：

①被开方数不含分母；

②被开方数不能含开得尽方的因数或因式.即把每一个因数或因式都写成底数较小、乘方的形式后，因数或因式的指数小于2. ③若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开放方数写成积的形式，再作判定，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式.比如：因为324252，所以3242不是最简二次根式.因为2x22y22(x2y2)，且因式2和(x2y2)的指数都是1，所以2x22y2是最简二次根式.而a2b2中a2b2无法变成一个数（或因式），所以a2b2是最简二次根式. （2）化简二次根式一般例如为两步：一如果被开方数是分数或分式，利用分母有理化化简；二化去被开方数中的分母之后，再将被开方数分解成几个数相乘的形式或分解因式，然后利用积的算第14页

术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来.若被开方数中不含分母，则只需第二步.

课堂检测

基本概念题

1、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？

412402,8x2,22,x24x4（x＞2），-xxx，. 331,2x0.75ab,ab2(b＞0，a＞0), 9x216y2,(ab)2(ab)(a＞b＞0),

基础知识应用题

2、若(x3)(x3)x3

x3成立，则 （ ）

A. x≥3

B.

x≥-3 C. -3≤x≤3

D．

x为任意实数

3、如果xx6x

成立，那么 （ ）x6A. x≥6

B. 0≤x≤6

C. x≥0

D. x＞6

综合应用题

第15页

图21-4

4、如图21-4所示，飞行员在飞机B处用雷达测得飞机和目标城市A的距离为4.5×102m,且测得对这个目标的俯角α=45°，C为地面上位于飞机正下方的点，设地面是平的.求飞机此时的高度h.

探索创新题

5、已知a=7，b=70，请用含a，b的代数式表示4.9从不同不的计算角度考虑，用两种以上方法表示.

体验中考

1、（1）有这样一个问题：2与下列哪些数相乘，结果是有理数? A. 32

B. 2-2

C. 23

D. 3

E. 0 2问题的答案是（只需填字母）：

；

（2）如果一个数与2相乘的结果是有理数，那么这个数的一般形式是什么？（用代数式表示）

2、对于任意不相等的两个数a※b

学后反思

第16页

a，b，定义一定运算※如下：ab32，如3※25，那么12※4

. ab32

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析

本题主要考查最简二次根式的概念. 解: 22，8x2,9x216y2,x是最简二次根式. 3∵412402(4140)(4140)819，

x24x4=(x2)2=x-2, x112x2x, =x=22x2x2x0.75ab=0.253ab=0.53ab,ab2ba, (ab)2(ab)=(a+b) (ab),x3x=,

331,0.75ab,ab2( b>0, a>0), 2x∴412402,x24x4(x>2), x(ab)2(ab)(a>b>0), x

不是最简二次根式. 3

【解题策略】

判断最简二次根式主要看被开方数是否有分母，另外，要看被开方数是否含有能开方的因式.

2、分析

本题考查的知识点是二次根式的乘法公式成立的条件，要求x+3≥0,且x-3≥0，由此可得x≥3，故选A.

第17页

3、分析

本题主要考查二次根式的除法公式成立的条件，要求x≥0，且x-6＞0，所以x＞6.故选D. 规律·方法

求使等式成立的字母的取值范围，只需使等式的每一部分都有意义即可，这里包括二次根式的被开方数非负，分母不为零，零次幂和负整数次幂的底数不为零等.

4、分析

本题综合考查勾股定理和二次根式的化简，解决此题的关键是将问题转化到一个直角三角形中去分析. 解：因为α=45°，所以∠A= 45°. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，所以∠ABC== 45°，所以AC=BC=h. 由勾股定理可知AC2+BC2=AB2，即2h2=(4.5×102)2. 18100002所以h2（4.5102）.28

810000所以h2252(m)8答：飞机此时的高度为2252（m）. 【解题策略】

解决此题的方法是将问题转化到一个直角三角形中去，将求飞机的高度转化为求直角边的长度，同时注意结果要化到最简.

5、分析

解决本题的关键在于把4.9用不同的形式表示出来. 解法1：4.949497777a.

107070b4907107707707b.

100101071010a7490770ab.

100101049490=及二次根式的性质化简，化简后使其与a，b相关，然后将10100解法2：4.9解法3：4.9【解题策略】

根据4.9=能用a，b代替的用a，b代替，表示出结果. 第18页

体验中考

1、分析

本题考查二次根式的乘法运算，对所有的选项亲自算一下，就会得到所有答案. 解：（1）A，D，E.

（2）设这个数为x,则x·2=a(a为有理数)，

所以x=a(a为有理数)，

22、分析

本题考查对新运算的理解，以及对二次根式的化简能力，12※4=124411.故填.

124822【解题策略】

对于新定义的运算，要看清它的计算实质，利用例子把新运算转化为普通的运算.

16.3 二次根式的加减

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、同类二次根式的概念；

2、二次根式的加减；

第19页

3、二次根式的混合运算；

【重点难点】

1、同类二次根式；

2、二次根式的混合运算；

知识概览图

同类二次根式

二次根式的加减

二次根式的加减

二次根式的混合运算

新课导引

如图所示，要在圆形的花坛的中心种花，外围栽草，并使得两个圆为同心圆，种花、草的面积分别为6.28 cm2，18.84 cm2，求种草的宽度.（π取3.14）

【问题探究】

由于种植花、草的面积分别为6.28 cm2，18.84 cm2，所以花坛的大、小圆的面积分别为25.12 cm2，6.28 cm2，求得它们的半径分别为25.12和6.28，当π取3.14时，它们的值分别为8和2，这实际上是求82，那么如何计算错误！未找到引用源。呢？

【解析】82222（2-1）22.

教材精华

知识点1

同类二次根式

定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.同类二次根式与同类项类似.例如：3xy2和-xy2是同类项，-23与33是同类二次根式，3与2xy与y2xy也是同类二次根式.又如：12，需要化简后再判断，因为27与1223,2733，所以12是同类二次根式.对2712和18来说，因为第20页

1223,1832，它们的被开方数不同，所以12与18不是同类的二次根式. 拓展

对同类二次根式的理解应注意以下几点：

（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式时，首先将二次根式化为最简二次根式，其次看被开方数是否相同. （2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，与根号外的系数无关. 全并同类二次根式. 将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数保持不变. 例如：

332311333233.合并同类二次根式的方法与整式加减中合并同222类项类似，利用合并同类项的法则把二次根式的加减运算转化为系数（有理数）的加减运算. 拓展（1）二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因式（或因数），它包含前面的符号. （2）当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数. （3）不是同类二次根式，千万不要合并.

知识点2

二次根式的加减

二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式. 即先将各个二次根式都化成最简二次根式；再把其中的同类二次根式进行合并. 对于没有合并的二次根式，一定不要丢弃，要抄下来，它们也是结果的一部分. √二次根式的加减运算实质上是化成最简二次根式，再合并同类二次根式. 在运算过程中，与整式的加减类似.交换律、结合律以及乘法分配律，去括号法则在二次根式的加减中仍然适用. √二次根式的加减步骤：

（1）先将每一个二次根式都化为最简二次根式. （2）判断哪些根式为同类二次根式，把同类二次根式合并为一组. （3）合并同类二次根式. 例如：（1）5032182852423242

(5434)282.

（2）272345332335335.

第21页

拓展

二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下表所示：

运算

系数

二次根式的乘除法

系数相乘除

二次根式的加减法

系数相加减

被开方数不变

被开方被开方数相乘除

数

化简

结果化成最简二次先化成最简二次根式，再合并同类二根式

次根式

知识点3

二次根式的混合运算

二次根式的混合运算实质上是有理数与无理数的混合运算，是二次根式的加、减、乘、除、乘方法则的综合应用. 在进行二次根式的混合运算时，应注意：

（1）二次根式的混合运算顺序和实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里面的（或者先去括号）. （2）乘法运算的运算律以及乘法公式在二次根式中的运用. （3）二次根式运算的结果要最简，不能含有能合并的同类二次根式. 拓展

在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，有时还需要灵活逆用公式，这样可以使计算过程大大简化. 【规律方法小结】

我们在学习同类二次根式的概念、二次根式的加减法时就是采用类比的方法，类比整式中同类项的概念、整式的加减法来学习和掌握的.

探究交流

“33545”是否正确？为什么？

点拨

不正确，因为3与35不是同类二次根式，不能合并，这与合并同类项一样，不是同类的不能合并.

课堂检测

第22页

基本概念题

1、下列二次根式中，哪些是同类二次根式？

a12712a31323227，，-，，，b，2243，ab，3.

18b5a3b27a39ab

基础知识应用题

2、

下列二次根式中，能够与8合并的是（

）

A.

3、计算. (1)80205;(2)27

B. 18

C. 49

D. 5

31240.586;

ba33(3)3bab3ab(a0,b0);aba11(4)a4b2bb.a

第23页

综合应用题

4、满足不等式2(x1)5218的最小整数解是（

）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

探索创新题

5、在化简aaba时，有下列两种不同的方法：

aab方法1：原式=ab.a(ab)ab(ab)(ab)(ab)(ab)

aba(ab)ab(ab)(ab)

a(ab)ab(ab)(ab) 方法2：原式=ab.a(ab)abab这两种方法都正确吗？若有错误，说明理由.

体验中考

1、如果(22)2ab2(a，b为有理数），那么ab等于（

）

A.2

B.3

C.8

D.10

2、下列计算正确的是（

）

A.233356 B.(2+1)(1-2)=11

422-11C.(a)aa D.（xy）xyxy242

第24页

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析

要判断是否是同类二次根式，必须先化成最简二次根式，再判断. 解：2732333a2ab12ab.

18b36b26b127127a31313a3.25a5a5a3932a3a22aba13ab2abbb3a.

2342bbb27a81a9a22432923183.32164ab2ab2ab99333232ab123222ab.

ababab1,2243是同类二次根式，327,a2a33232,,ab,3是同类二次根式，

18bb9ab1271,b是同类二次根式.35a27a【解题策略】

判断同类二次根式主要看被开方数和根指数，与根式的系数无关. 第25页

2、分析

首先将不是最简二次根式的化为最简二次根式，然后再判断，因为822,

2733,1832,497,515，所以18可以与8合并，故选B. 33【解题策略】

本题主要考查同类二次根式的概念以及化为最简二次根式的方法. |规律·方法|

合并同类二次根式的依据是逆用简乘法分配律，根号外的因式（或数）即为该根式的系数，合并时只要把系数相加减，根指数与被开方数不变.若二次根式的系数为带分数，则需化为假分数.

3、分析

本题主要考查的是二次根式的加减运算及运算法则、运算律的应用.二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式. 解：（1）802054525535.

（2）1240.586

2216362.244ba(3)2ba3b3ab3ab2

ababaab3baba2aa23ab21a3babab.aa26a11(4)a4b2bbaa2b2a2abab.

22【解题策略】

（1）在书写的过程中一定要认真，别把二次根式的根号丢了. （2）合并时一定要看准，是同类二次根式的合并，不是同类二次根式的不能合并. 规律·方法

二次根式的加减法一般可按以下步骤进行：

（1）将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含带分数或小数，则要先化成假分数，进而化为最简二次根式；

第26页

（2）原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式合并在一起.

4、分析

本题综合考查二次根式的运算和不等式的解法.先解不等式，不等式两边同除以2，得x1263，x26-2，5<26<6，3<2624，∴x能取的最小整数是4，故选C. 【解题策略】

解不等式求出x＞262后，必须先算出262的取出值范围，不仅要求出262＞3，同时必须求出262＜4.只有这样才能确定x能取的最小整数是4.否则，得出的x能取的最小整数值可能是错误的.

5、分析

本题主要考查的是二次根式与乘法公式、分式性质的灵活应用. 解：方法1是错误的，方法2是正确的.理由如下：

因为题中已知条件并没有给出a≠b或隐含条件a≠b，即“ab”，而方法1中，在约分以后将分子、分母同乘ab，事实上，当ab时，违背了分式的基本性质，虽然结论是正确的，但运算过程是错误的，当ab时，原式仍有意义，此时原式的值为0，所以方法1是错误的. 【解题策略】

解决知识性阅读理解题目的关键是真正读懂阅读材料，理解并掌握其思想，进而应用其方法解答题中设置的问题.

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