构建知识体系教学活动设计方案

17.1

勾股定理

第1课时

勾股定理

罗

家

蓉

【学习目标】

1.经历探索及验证勾股定理的过程,体会数形结合的思想.

2.掌握勾股定理,并运用它解决简单的计算题；

3.了解利用拼图验证勾股定理的方法.

【学习重点】

探索和验证勾股定理.

【学习难点】

在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理. 一、情景导入

如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树,这就是著名的毕达哥拉斯树,它由若干个图形组成,而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形.各组图形大小不一,但形状一致,结构奇巧,你能说说其中的奥秘吗？

二、自学学习

阅读教材P22,完成下面的内容：

图17.1－2 思考：图17.1－2中三个正方形的面积有什么关系？

等腰直角三角形的三边之间有什么关系？

结论：可以发现,以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的大正方形的面积.即等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和. 三、合作学习

二人互助

思考：其它直角三角形是否也存在这种关系？

观察下边两个图并填写下表:

A的面积

B的面积

C的面积

图1-2

图1-3

结论：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c，

那么

a2＋b2＝c2.

. 归纳：命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2＋b2＝c2. 四人小组

1、根据下图你能写出勾股定理的证明过程吗？

理清证明命题1的基本思路：用面积法,拼图证明它们的面积相等,从而得到a2＋b2＝c2. 结论：

直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方

勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2＋b2＝c2. ∵

∠C＝90°

∴

a2 + b2 = c2

还有其他证明勾股定理的方法吗？：请先用手中的全等直角三角形按图示进行摆放，然后根据图示的边长，选择其中一个图形，分析其面积关系后证明.

cba

图1 图2 图3

图1 大正方形的面积(ab)2,小正方形的面积c2,1所以(ab)24abc2,2即：a2b2c2.

图2 解：大正方形的面积c2,小正方形的面积(ba)2,1所以4ab(ba)2c2,22abb22aba2c2,即：a2b2c2.图3

1(ab)(ab),212直角三角形的面积c,2111所以(ab)(ab)2abc2,222即a2b2c2.

梯形的面积

师介绍有趣的总统证法

美国第二十任总统加菲尔德的证法在数学史上被传为佳话

. 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，

就把这一证法称为“总统”证法.

D

b

ca

cC

A

b

aB

四、勾股定理的应用

1、如图所示,△ABC中,AB＝13,BC＝14,AC＝15.求BC边上的高AD的长.

解：设BD＝x,则DC＝14－x, 由勾股定理得AB2－BD2＝AC2－CD2, 即132－x2＝152－(14－x)2,解得x＝5, ∴AD＝132－52＝12. 2、知识拓展

如图所示,四边形ABCD是长方形,把△ACD沿AC折叠到△ACD′,AD′与BC交于E,若AD＝4,DC＝3,求BE.

解：由折叠的意义,得△ACD≌△ACD′, ∴∠D′＝∠D＝90°,CD′＝CD＝AB. ∵∠AEB＝∠CED′,∠B＝∠D′＝90°, ∴△ABE≌△CD′E,∴AE＝CE. 设BE＝x,则AE＝CE＝4－x,AB＝3, 7∴(4－x)2＝32＋x2,解得x＝, 87∴BE＝. 8五、课后小结

这节课你学到了什么？勾股定理存在的条件是什么？贡师的变形？公式的作用？

六、当堂评价

七、检测反馈

达成目标

【当堂检测】

1.

Rt△ABC的两边长分别为3和4,则△ABC的周长为

2.

2.若Rt△的两直角边长为a,b且满足a2－6a＋9＋|b－4|＝0,则该Rt△的斜边长为

3.在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,且a＋b＝23,c＝3,求△ABC的面积. 八、作业布置