习题训练教学实录

人教版数学八年级下册《勾股定理》单元测试卷

命题：谢丽华 审稿：

陈春兰

（

总分120分 考试时间120分钟

） 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只一个正确选项） 1．下列各组数中，不是直角三角形的三条边的长的是（

）

A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．4，5，6 2．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（

）

A．18m

B．10m

C．14m

D．24m

3．已知三角形的三边长为a、b、c，如果

，则△ABC是

A．以a为斜边的直角三角形

C．以c为斜边的直角三角形

B．以b为斜边的直角三角形

D．不是直角三角形

4．如图，在 中，∠

°，

，

， 在数轴上，以

点为圆心， 长为半径画弧，交数轴于点

，则

点表示的数是

A．

B．

C．

D．

5．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（

）

A．4米

B．5米

C．6米

D．7米

6．下列结论中，错误的有（

）

①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；

②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2AC2AB2则∠A＝90°；

③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；

④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形；

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

二 .填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．若ABC的三边分别是a、b、c且a、b、c满足a2b2c2，则

＝90°．

8．已知两线段的长分别是5cm、3cm，则第三条线段长是

时，

这三条线段构成直角三角形

9．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝25，S3＝144，则AB＝

．

10．在平面直角坐标系中，点P（3，

1）到原点的距离是____________. 11．如图，BD为△ABC的中线，AB＝10，AD＝6，BD＝8，△ABC的周长是

．

12．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则

△ABC的面积为

．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

0（π-3）13．（1）计算81-2

（2）Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求AB边上的高

14．如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米

（1）若梯子底端离墙角的距离OB为0.7米，求这个梯子的顶端A

距地面有多高？

（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.4米到点A′，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB′为多少米？

15．某广场内有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝26m，AD＝24m．求四边形ABCD空地的面积．

16．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝20，BC＝15，CD＝9．

（1）求AC的长；

（2）判断△ABC的形状并证明．

17．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．

（1）在图①中，以格点为端点，画线段MN＝；

（2）在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10．

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18.善于思考的小鑫同学，在一次数学活动中，将一副直角三角板如图放置，A，B，D在同一直线上，且EF∥AD，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠C＝45°，∠E＝60°，量得DE＝12cm，求BD的长．

19．已知，如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，以斜边AC为底边作等腰三角形ACD，腰AD刚好满足AD∥BC，并作腰上的高AE．

（1）求证：AB＝AE；

（2）求等腰三角形的腰长CD．

20．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作122a(mn)2《九章算术》，其勾股数组公式为：bmn

,其中m＞n＞0，1c(m2n2)2m，n是互质的奇数．

应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．

五、(本大题共2小题,每小题9分，共18分) 21．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方60米处的C点，过了5秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100米．

（1）求BC间的距离；

（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．

22．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形．

（1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形

常态

三角形（填“是”或“不是”）；

（2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为

（请按从小到大排列）；

（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积．

六、解答题(本大题共1小题,共12分）

23．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求PQ的长；

（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？

（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．

参考答案与试题解析

一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1.D 2.A 3.B．4.B 5.D．6.C 二 .填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．∠

B

＝90°．

8．

4或cm

9．

13 ．

10．2 11．

32 ．

12．

126或66 cm2．

三．解答题三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13.解：（1）原式＝2+﹣1+1＝3； ......3分

（2）设AB边上的高为h，

由勾股定理得，AB＝由三角形的面积公式得，解得，h＝＝5，

AC×BC＝×AB×h，

． ......6分

14．

解：（1）根据勾股定理：

所以梯子距离地面的高度为：AO＝分

（2）梯子下滑了4米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2.4﹣0.4）＝2米，

═2.4米； ......3

根据勾股定理：OB′＝1.5米，

所以当梯子的顶端下滑0.4米时，梯子的底端水平后移了1.5﹣0.7＝0.8米

答：当梯子的顶端下滑0.4米时，梯子的底端水平后移了0.8米． ......6分

15．解：连接AC，

在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝62+82＝102，

∴AC＝10． ......2分

在△DAC中，CD2＝262，AD2＝242，

∴AD2+AC2＝242+102＝262＝CD2，

即AC2+AD2＝CD2，

∴∠DCA＝90°，

S四边形ABCD＝S△BAC+S△DAC＝•BC•AB+DC•AC，

＝×8×6+×24×10＝144（m）2，

答：四边形ABCD空地的面积是144m2． ......6分

16. 解：（1）∵在△ABC中，CD⊥AB于D，AB＝20，BC＝15，DC＝9，

∴BD＝，

AD＝，

∴AC＝AD+BC＝16+9＝25；.....4分

（2）∵AC＝25，BC＝15，AB＝20，202+152＝252，

∴△ABC是直角三角形． ......6分 17.解：（1）如图①所示：

（2）如图②所示．.....6分

18．解：解：过点F作FH⊥AB于点H，

∴∠FHB＝90°，

∵∠EDF＝90°，∠E＝60°，

∴∠EFD＝90°﹣60°＝30°，

∴EF＝2DE＝24，

∴DF＝∵EF∥AD，

∴∠FDA＝∠DFE＝30°，

∴FH＝DF＝6∴DH＝，

＝18，......4分

＝12， ......2分

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴∠ABC＝45°，

∴∠HFB＝90°﹣45°＝45°，

∴∠ABC＝∠HFB，

∴BH＝FH＝6，

．

则BD＝DH﹣BH＝18﹣6 ......8分

19.（1）证明：∵DA＝DC，

∴∠DAC＝∠DCA，

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠BCA，

∴∠ACB＝∠DCA，

又∵AE⊥CD，

∴∠AEC＝90°，

∴∠A＝∠AEC＝90°，

在△ABC和△AEC中，∴△ABC≌△AEC（AAS），

∴AB＝AE； ......4分

（2）解：由（1）得：AE＝AB＝6，CE＝CB＝4，

设DC＝x，则DA＝x，DE＝x﹣4，

由勾股定理得：DE2+AE2＝DA2，

，

即（x﹣4）2+62＝x2， ...... 7分

解得：x＝即CD＝，

． ......8分

121220.

当n=1,a=（m21)①, b=m ②,c=（m21))③，

∵直角三角形有一边长为5，

∴情况1、当a=5时,12(m2−1)=5,解得：m(舍去)，

情况2、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，

情况3、当c=5时,12(m2+1)=5，解得：m=±3，

∵m>0，

∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，

综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4.

20．解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，

∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2．；......4分

（2）由图可知，（b﹣a）2＝2，4×ab＝6﹣2＝4，∴ab＝1，

∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝10． ......8分

21解：（1）在Rt△ABC中，

∵AC＝60m，AB＝100m，且AB为斜边，

根据勾股定理得：BC＝80（m）； ......4分

（2）这辆小汽车没有超速．

理由：∵80÷5＝16（m/s），平均速度为：16m/s，

16m/s＝57.6km/h，

57.6＜70，

∴这辆小汽车没有超速． ......9分

22．解：（1）∵22+42＝4×（∴△ABC三边长分别是2，）2＝20，

和4，则此三角形是常态三角形．

故答案为：是； ......2分

（2）∵Rt△ABC是常态三角形，

∴设两直角边长为：a，b，斜边长为：c，

则a2+b2＝c2，a2+c2＝4b2，

则2a2＝3b2，

故a：b＝∴设a＝则c＝：，

x，b＝x，

x，

∴此三角形的三边长之比为：故答案为：：：：：．

； .......5分

（3）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，△BCD是常态三角形，

∴当AD＝BD＝DC，CD2+BD2＝4×62时，

解得：BD＝DC＝6则AB＝12，

，

故AC＝＝6，

＝．

则△ABC的面积为：×6×6当AD＝BD＝DC，CD2+BC2＝4×BD2时，

解得：BD＝DC＝2则AB＝4故AC＝2，

，

＝6．

，

则△ABC的面积为：×6×2故△ABC的面积为或6． ......9分

六、解答题(本大题共1小题,共12分）

23.解：（1）∵BQ＝2×2＝4（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm

），∠B＝90°，

∴PQ＝＝＝（cm）； ......3分

（2）BQ＝2t，BP＝16﹣t，

根据题意得：2t＝16﹣t，

解得：t＝即出发，

秒钟后，△PQB能形成等腰三角形； .....6分

（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，

则∠C＝∠CBQ，

∵∠ABC＝90°，

∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．

∠A+∠C＝90°，

∴∠A＝∠ABQ，

∴BQ＝AQ，

∴CQ＝AQ＝10，

∴BC+CQ＝22，

∴t＝22÷2＝11秒．

②当CQ＝BC时，如图2所示，

则BC+CQ＝24，

∴t＝24÷2＝12秒．

③当BC＝BQ时，如图3所示，

过B点作BE⊥AC于点E，

则BE＝＝，

∴CE＝，

∴CQ＝2CE＝14.4，

∴BC+CQ＝26.4，

∴t＝26.4÷2＝13.2秒． ......12分

综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△形．

BCQ为等腰三角