本章小结教案推荐

万有引力定律章末复习

一、

卫星的运行规律

卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系(r＝R地＋h) 线速度

角速度

周期

加速度

v2MmGr2＝mr

MmGr2＝mrω2

Mm4πGr2＝mrT2

MmGr2＝ma 2v＝ω＝T＝2πGM1r∝r

GM1r3∝r3

r3∝r

GM3越高越慢

GM1a＝r2∝r2

[例1]

登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表，火星和地球相比(

) 行星

地球

半径/m

6.4×106质量/kg

轨道半径/m 6.0×1024

1.5×1011

2.3×1011

火星

3.4×1066.4×1023

A.火星的公转周期较小

B．火星做圆周运动的加速度较小

C．火星表面的重力加速度较大

D．火星的第一宇宙速度较大

二、

星体表面上的重力加速度问题

1．在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：

mMGMmg＝GR2，得g＝R2

2．在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′

mg′＝GMmGM，得g′＝

R＋h2R＋h22R＋hg所以＝R2

g′

[例2]

我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落。已知探测器的质量约为1.3×103

kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2。则此探测器(

) A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s B．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 N C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒

D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度

三、天体质量和密度的估算

使用方法

已知量

利用公式

MmGr2＝4π2mrT2

v2MmGr2＝mr

vMmGr2＝mr

v、T MmGr2＝4π2mrT2

利用天体表面重力加速度

MmGr2＝4π2mrT2

3πr3ρ＝GT2R3当r利用近地卫星只需＝R时ρ＝测出其运3π行周期

GT2

g、R GMmmg＝R2

gR2M＝G

—

v3TM＝2πG

2表达式

4π2r3M＝GT2

rv2M＝g

备注

r、T 利用运行天体

质量的计算

r、v

只能得到中心天体的质量

密度的计算

利用运行天体

r、T、

R

43M＝ρ·3πR

利用天体表面重力加速度

g、R GMmmg＝R2

43M＝ρ·3πR

3gρ＝4πGR

—

3．

2015年3月6日，全国政协委员、中国载人航天工程总设计师周建平接受新华社记者采访时说，从现在掌握的基础技术来说，我国具备实施载人登月工程的能力。假设飞船贴近月球表面做匀速圆周运动的周期为T，宇航员在月球上着陆后，测得一物块由静止从距月球表面h高度自由下落所用的时间为t，已知引力常量为G，月球视为均匀球体，则下列叙述正确的是(

) h3T44π2A．月球的质量为2Gπ4t6

B．月球的密度为GT3

hT32hTC．月球的半径为π2t2

D．月球的第一宇宙速度为πt2

四、

卫星的变轨问题

1．变轨原理及过程

图3 人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图3所示。

(1)为了节省能量

，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。

(2)在A点点火加速，由于速度变大，进入椭圆轨道Ⅱ。

(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。

2．卫星变轨的实质

Mmv2(1)当卫星的速度突然增加时，Gr2

Mmv2(2)当卫星的速率突然减小时，Gr2>mr，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝利用这一原理。

4、

(多选)在完成各项既定任务后，“神舟九号”飞船于2012年6月29日10时许返回地面，主着陆场位于内蒙古四子王旗地区。如图4所示，飞船在返回地面时，要在P点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，Q为轨道Ⅱ上的一点，M为轨道Ⅰ上的另一点，关于“神舟九号”的运动，下列说法中正确的有(

) GMr可知其运行速率比原轨道时增大。卫星的发射和回收就是

图4 A．飞船在轨道Ⅱ上经过P的速度小于经过Q的速度

B．飞船在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过M的速度

C．飞船在轨道Ⅱ上运动的周期大于在轨道Ⅰ上运动的周期

D．飞船在轨道Ⅱ上经过P的加速度小于在轨道Ⅰ上经过M的加速度

五、

近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题

近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的三种匀速圆周运动的参量比较

近地卫星

(r1、ω1、v1、a1)

同步卫星

(r2、ω2、v2、a2)

赤道上随地球自转的物体

(r3、ω3、v3、a3) 万有引力的一个分力

向心力

轨道半径

万有引力

万有引力

r2＞r3＝r1

GMm由r2＝mω2r得ω＝角速度

ω2

GMr3，故ω1＞同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3

ω1＞ω2＝ω3

线速度

GMmmv2由r2＝r得v＝GM由v＝rω得v2＞v3

r，故v1＞v2

v1＞v2＞v3

向心加

速度

a1＞a2＞a3

5、

(多选)如图1所示

，A表示地球同步卫星，B为运行轨道比A低的一颗卫星，C为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，两颗卫星及物体C的质量都相同，关于它们的线速度、角速度、运行周期和所受到的万有引力的比较，下列关系式正确的是(

) GMmGM由r2＝ma得a＝r2，故a1＞a2

由a＝ω2r得

a2＞a3

图1 A．vB＞vA＞vC

C．FA＞FB＞FC

六、环绕速度

1．第一宇宙速度又叫环绕速度。

2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。

3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。

4．第一宇宙速度的计算方法

B．ωA＞ωB＞ωC

D．TA＝TC＞TB

v2Mm(1)由GR2＝mR得v＝GMR＝7.9 km/s v2(2)由mg＝mR得v＝gR＝7.9 km/s