探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质名师课堂实录

正弦函数、余弦函数的图象与性质

教学目标

1.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像；

2.了解周期函数与最小正周期的意义，会求y=Asin(ωx+ψ)的周期，了解奇偶函数的意义，能判断函数的奇偶性；

3.通过正弦、余弦函数图像理解正弦函数、余弦函数的性质，培养学生的数形结合的能力；

4.简化正弦、余弦函数的绘制过程，会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图；

5.通过本节的学习培养学生的化归能力、转化思想.

正弦函数、余弦函数的图像和性质（第一课时） （一）教学具准备

直尺、圆规、投影仪．

（二）教学目标

1．了解作正、余弦函数图像的四种常见方法．

2．掌握五点作图法，并会用此方法作出

上的正弦曲线、余弦曲线．

3．会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像．

（三）教学过程（可用课件辅助教学）

1．设置情境

引进弧度制以后，

就可以看做是定义域为

的实变量函数．作为函数，我们首先要关注其图像特征．本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法．

2．探索研究

（1）复习正弦线、余弦线的概念

前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法，请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？（师画图1）

设任意角为

的终边与单位圆相交于点

叫做角

，过点作

轴的垂线，垂足

叫做角

的余弦

，则有向线段

的正弦线，有向线段线．

（2）在直角坐标系中如何作点

的大小，就能用几何方由单位圆中的正弦线知识，我们只要已知一个角法作出对应的正弦值

的大小来，请同学们思考一下，如何用几何方法在直角坐标系中作出点

？

．

，教师引导学生用图2的方法画出点我们能否借助上面作点

的图像呢？

的方法在直角坐标系中作出正弦函数

①用几何方法作

，

的图像

我们知道，作函数的图像的步骤是：列表、描点、连结；如果我们用列表法得出各点的坐标，就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确，使得描点后画出的图像误差也大，为克服这一不足，我们用前面作点的几何方法来描点，从而使图像的精确度有了提高．

（边画图边讲解），我们先作五个步骤：

a．作直角坐标系，并在直角坐标系中

轴左侧画单位圆．

b．把单位圆分成12等份（等份越多，画出的图像越精确）．过单位圆上的

在

上的图像，具体分为如下

各分点作

轴的垂线，可以得到对应于0，线．

，

，

，…，

角的正弦

c．找横坐标：把

轴上从0到

（

）这一段分成12等分．

d．找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应12个点．

e．连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即得

的图像．

②作正弦曲线

，

的图像．

，

，

，

的图像

的

，

，图为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数

，

且

的图像与函数的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数图像向左、右平移（每次

的图像，如图1．

个单位长度），就可以得到正弦函数数

正弦函数③五点法作师：在作正弦函数但其中起关键作用的是函数

，

，

，

，

的图像叫做正弦曲线．

的简图

的图像时，我们描述了12个点，

与

轴的交点及最高点和最低点这五个点，你能依次它们的坐标吗？

生：（0，0），

，

，

，

，

的图像的形状就基师：事实上，只要指出这五个点，本确定了，以后我们常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图．

④用变换法作余弦函数

，

的图像

因为

，所以

，

与

是同一个函数，即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移个长度单位角得到，余弦函数的图像叫做余弦曲线，如图2，师：请同学们说出在函数

，

的图像上，起关键作用的五个点的坐标．

生：（0，1），3．例题分析

【例1】画出下列函数的简图：

（1）

（2）

，

，

；

．

，

，

，

解：（1）按五个关键点列表

0 0 1

0 1

0 1

1 2

－1 0 利用五点法作出简图3

师：请说出函数生：函数

，

与

的图像之间有何联系？

的图像可由

，

的图像向上平移1个单位得到．

（2）按五个关键点列表

利用五点法作出简图4 －1 0 1 0 －1 0

1 0 －1 0

1

师：

，

与

，

的图像有何联系？

生：它们的图像关于

轴对称．

练习：

（1）说出

（2）说出

，

，

的单调区间；

的奇偶性．

参考答案：（1）由

，

图像知、

，

为其单调递增区间，

（2）由4．总结提炼

（1）本课介绍了四种作

为其单调递减区间

，

图像知

是偶函数．

，

图像的方法，其中五点作图法最常用，要牢记五个关键点的选取特点．

（2）用平移诱变法，由

这不是新问题，在函数一章学

***移作图时，就使用过，请同学们作比较．应该说明的是由平移量是不惟一的，方向也可左可右．

5．演练反馈，（投影）

（1）在同一直角坐标系下，用五点法分别作出下列函数的图像

①

，

②

， （2）观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的

的区间．

①

，

②

，

③

，

④ （3）画出下列函数的简图

①

③参考答案：

，

，

②

，（1）（2）①

，

，

②

、

，

③

④

（3）

（五）板书设计

课题

1．正、余弦函数线

2．作点3．作的图像

，

5．变换法作图像

6．五点法作余弦函数图像

7．例题

（1）

（2）

演练反馈

总结提炼

的4．五点法作正弦函数图像

正弦函数、余弦函数的图像和性质（第二课时） （一）教学具准备

直尺，投影仪．

（二）教学目标

1．掌握

2．会求含有（三）教学过程

1．设置情境

研究函数就是要讨论一些性质，

，

是函数，我们当然也

，

、

的定义域、值域、最值、单调区间．

的三角式的定义域．

要探讨它的一些属性．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质．

2．探索研究

师：同学们回想一下，研究一个函数常要研究它的哪些性质？

生：定义域、值域，单调性、奇偶性、等等．

师：很好，今天我们就来探索

，

两条最基本的性质——定义域、值域．（板书课题正、余弦函数的定义域、值域．）

师：请同学看投影，大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像．

师：请同学思考以下几个问题：

（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？

（2）正弦、余弦函数的值域是什么？

（3）他们最值情况如何？

（4）他们的正负值区间如何分？

（5）

的解集如何？

师生一起归纳得出：

（1）正弦函数、余弦函数的定义域都是（2）正弦函数、余弦函数的值域都是正弦函数、余弦函数的有界性．

（3）取最大值、最小值情况：

．

即

，

，称为正弦函数

，当

时，（

）函数值

取最大值1，当

时，（

余弦函数

）函数值

取最小值－1．

，当

，（

）时，函数值

取最大值1，当

，（（4）正负值区间：

）时，函数值

取最小值－1．

（5）零点：

3．例题分析

（

（

）

）

（

）

例2：观察图3-23，并根据所学知识得出正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的定义域、值域、最大最小值、与x轴的交点、单调区间。

例3：不通过求值，判断下列各式的值是正数还是负数。 例4求函数y=cos(π/4-2x)的单调区间

4．演练反馈（投影）

（1）函数

，

的简图是（

）

（2）函数

的最大值和最小值分别为（

）

A．2，－2

B．4，0

C．2，0

D．4，－4 （3）函数A．（4）如果

的最小值是（

）

B．-2

C．

与

D．

同时有意义，则

的取值范围应为（

）

A．

B．

C．

D．

或 （5）

与

都是增函数的区间是（

）

A．

，

B．

，

C．

，

D．

， （6）函数

的定义域________，值域________，

时合为_________．

参考答案：（1）B

（2）B

（3）A

（4）C

（5）D （6）

；

； 5．总结提炼

（1）

，

的定义域均为

．

（2）

、

的值域都是

（3）有界性：

（4）最大值或最小值都存在，且取得极值的

集合为无限集．

的集

（5）正负敬意及零点，从图上一目了然．

（6）单调区间也可以从图上看出．

（五）板书设计

1．定义域

2．值域

3．最值

4．正负区间

5．零点

例1 课后思考题：求函数

集合。

提示：

正弦函数、余弦函数的图像和性质（第三课时）

（一）教学具准备

直尺、投影仪．

（二）教学目标

1．理解

，

的周期性概念，会求周期．

的周期为

的一般格式．

的最大值和最小值及取最值时的例2 例3 课堂练习

2．初步掌握用定义证明（三）教学过程

1．设置情境

自然界里存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等．数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，角

的终边每转一周又会与原来的位置重合，故

，

的值也具有周而复始的变化规律．为定量描述这种周而复始的变化规律，今天，我们来学习一个新的数学概念——函数的周期性（板书课题）

2．探索研究

（1）周期函数的定义

引导学生观察下列图表及正弦曲线

0

0

0

0

－1

1

－1 0 1 0

正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现．

联想诱导公式

，若令

则

，由这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：

对于函数个值时，都有做这个函数的周期．

如

，

，…及

，

…都是正弦函数的周期．

有两点须重视，一是是常数且不为

，如果存在一个非零常数

，使得当

取定义域内的每一

，那么函数

叫做周期函数，非零常数

叫注意：周期函数定义中零；二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立．

师：请同学们思考下列问题：①对于函数

，

有

能否说生：不能说

是正弦函数

的周期．

是正弦函数

的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的每一个值都使等式

②

成立，所以不符合周期函数的定义．

是周期函数吗？为什么

，即

，生：若是周期函数，则有非零常数

，使化简得

，∴

（不非零），或

（不是常数），故满足

非零常数

不存在，因而思考题：若

为期．（课外思考）

（2）最小正周期的定义

师：我们知道…，以证明

（

且

不是周期函数．

的周期，则对于非零整数

，

也是

的周

，

）是

，

，

…都是正弦函数的周期，可

是

的周期，其中的最小正周期．

一般地，对于一个周期函数正数，那么这个最小正数就叫做

，如果在它所有的周期中存在一个最小的

的最小正周期．

今后若涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期．

依据定义，（3）例题分析

【例1】求下列函数的周期：

（1）

，

；

（2）

，

；

和

的最小正周期为

．

（3）

，

．

．

分析：由周期函数的定义，即找非零常数

，使

解：（1）因为余弦函数的周期是

，所以自变量

只要并且至少要增加到

，

．

，且函数

，

，函数

的

，

的值也才能重

，余弦函数的值才能重复取得，函数复取得，从而函数即（2）令周期是

，那么

，

的周期是

，∴

必须并且只需

，就是说，变量

只要并且至少要增加到

的值才能重复取得，而至少要增加到期是

．

即

所以自变量

只要并且

，

的周

，函数值就能重复取得，从而函数

∴ （3）令

，那么

必须并且只需

，且函数

，

的周期是

，由于

，函数值才能重复取得，即，所以自变量

只

是能使等式要并且至少要增加到

成立的最小正数，从而函数

，

的周期是

．

而

∴

师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量

的系数有关，其规律如何？你能否求出函数（其中

，

，

为常数，且

，

，

及函数

）的周期？

，

生：

∴同理可求得【例2】求证：

（1）

（2）

（3）分析：依据周期函数定义

．

的周期

．

的周期为

；

的周期为

的周期为

；

．

证明．

证明：（1）

∴

的周期为

．

（2）

∴

的周期为

．

（3）

∴

的周期为

．

3．演练反馈（投影）

（1）函数

A．

B．

的最小正周期为（

）

C．

D． （2）

的周期是_________ （3）求

参考答案：

的最小正周期．

（1）C；（2）

∴

（3）欲求期的函数

或

的周期，一般是把三角函数

化成易求周

的形式，然后用公式

求最小正周期，而化得的一般思路是“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数．

由

4．总结提炼

（1）三角函数所特有的性质是周期性，周期与最小正周期是不同概念，研究三角函数的周期时，如未特别声明，一般是指它的最小正周期．

（2）设②（3）只有

，

．若

为

；③

或

在

的周期，则必有：①

上恒成立．

型的三角函数周期才可用公式

为无限集，

，不具有此形式，不能套用．如

．

（四）板书设计

课题

1．周期函数定义

两点注意：

思考问题①②

，就不能说它的周期为例2 的周期 的周期练习反馈

总结提炼

2．最小正周期定义

例1 思考题：设

是定义在

上的以2为周期的周期函数，且是偶

函数，当

时，

，求

上的表达式

参考答案：