探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质主要内容及教案内容

利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质

教学设计

天津市南仓中学 刘静

一、教材分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修4第一章《三角函数》中4.2节《正弦函数、余弦函数的性质》中探究与发现《利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质》，三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学;借助三角函数线可以推出三角函数诱导公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质。因此，三角函数线是研究三角函数的有利工具；本节课利用单位圆中的三角函数线讨论三角函数图像和性质，既是对利用三角函数的图象研究其性质的一个补充，又为下一小节的研究在方法上作铺垫；并且再次强调了单位圆的直观作用，拓宽了研究三角函数性质的视野。通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后打下基础．

二、学情分析

⒈学生已经掌握任意角三角函数的定义，三角函数值在各象限的符号以及诱导公式一，为单位圆中的三角函数线的寻找及其讨论三角函数的性质在做好了知识准备

⒉学生对于从三角函数得到三角函数线的由数到形的理解存在一定的困难

三、教学目标

1、利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦函数值

2、利用三角函数线得到正弦函数、余弦函数的性质

3、借助几何画板让学生经历概念的形成过程以及性质的判定过程

进一步训练学生的数形结合思维能力，让学生主动观察、发现、类比、探索

4、激发学生自主探究的积极性，鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯，从而改进学习方式，提高思维能力

四、教学重难点

重点： 三角函数线的定义及作法；利用三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质

难点：

利用三角函数线证明诱导公式等三角函数其他性质

五、教学策略

启发探索式教学法以及自主学习、小组合作，以“问题”为核心，以“观察”为手段，以“探究”为途径，以“发现”为目的．利用网络、多媒体和相关软件及时反馈，微视频、画图软件辅助教学，改善学习方式、创新思维，有效提升学生自主学习能力：

1．为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，通过微视频及动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持．

2．在整节课的教学中采用师生互动、生生互动、小组合作学习的方式，这样可以有利于发挥各层次学生的作用，同时调动学生学习的积极性．

3．本节课的教学设计遵循了“发现——发展”的教学模式，教师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动．教师在整个教学过程中，不再完全是课堂的主导者，而是分别扮演了“教学实践活动的辅导者”、

“解决问题所需资源的提供者”以及“自主探究过程中的组织者”等多种角色．

六、教学过程设计

1、旧知回顾，知识再现

4

画出的正弦线和余弦线

3设计意图：通过问题的设置，引导学生参与知识回回顾，有利于了解学生对三角函数线的概念的理解是否确理解，为本节课的教学做好铺垫．然后针对学生暴露出来的问可题进行引导，力求让每个学生都能正确理解三角函数的几何表示

2、互助探究，获取新知

通过几何画板，让学生先观察第一个演示过程，小组合作探究，学生发言总结正弦函数的性质，再让学生观察第二个演示过程，通过类比的方法小组合作探究，学生发言总结余弦函数的性质。再观察之前教师适当的提一些问题，引导学生思考观察

设计意图：借助几何画板，在讨论的过程中小组成员可以上台亲自操作几何画板感受三角函数线动态的变化过程，让学生亲身经历数学研究的过程，体会探素的乐趣，增强学习数学的乐趣；独立思考和分组讨论相结合的学习方式，增强学生自主创新和团结协作的精神。让学生讲解可以诱发孩子的求知欲锻炼他们的交流表达能力充分体现学生的主体地位并且通过亲自操作几何画板可以更加深刻的感受到三角函线带来的直观效果。

性质１：周期性

（1）自变量每增加2（角x旋转一周），正弦线（MP）重复出现

（2）自变量每增加2（角x旋转一周），余弦线（OM）重复出现

结论：（1）正弦函数是 ，周期为 （2）余弦函数是 ，周期为 性质２：奇偶性

Ⅰ.回顾判断函数奇偶性的步骤

Ⅱ.考察函数中的自变量角x与角－x相应的的正（余）弦线之间的位置关系

(1) 正弦线关于 对称

(2) 余弦线 结论：(1) 判定正弦函数是 (2) 判断余弦函数是 性质3：单调性 请根据正、余弦线的变化规律思考正、余弦函数是否存在单调区间？如果存在，判断在相应的单调区间是增函数还是减函数，并填写下列表格：

（1）

ysinx,xR

角x 正弦线MP sin x （2）ycosx,xR

角x

余弦线OM

cos x

结论：(1) (2) 性质4：最大值、最小值

（1）ysinx,xR

角x 正弦线MP sin x （2）ycosx,xR

角x

余弦线OM

cos x

结论：(1) (2) 设计意图：通过问题的提出，在“几何画板”进行动态和静态的演示下，让学生利用三角画数线这一工具，经历知识的发展和形乡成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力进一步时发现的结论进行论证，开展研究性学习，让学生运用所学知识去发现新问题，并加以解央，从而提高学生抽象概括、分析归納、数学表述等基本数学思维能力。借助设置的“问题串”，层层引发学生思考，让学生初步学会应用三角函数线解决实际问题，在此过程中进一步体会数形结合的思想

22k2k2101

2k

增函数

22k

-1 最小值

思考：你能借助单位圆中的三角函数线，讨论一下诱导公式等三角函数的其他性质吗？

3、新知应用，深化理解

1、利用单位圆中三角函数线证明诱导公式sin()cos，2cos()sin

2cos()cos

2、利用单位圆中三角函数线证明诱导公式sin()sin，设计意图：学生独立思考，提出解题的方法，深化理解，巩固所学知识，并进一步深化“数形结合”的数学思想.设计陷阱式教学，体现知识上螺旋式上升的规律，进而突破本节的重点，攻克难点进一步深化对知识的理解．通过形式多样的评价手段，包括生生互评、师生互评，提高了学习效率，让学生对自我学习的效果进行检验，并由此增强学生课堂落实效果，增强学习的热情．

4、作业布置、反馈所学

3、利用单位圆中的三角函数线研究正切函数的性质

设计意图：学生独立思考，提出解题的方法，深化理解，巩固所学知识，并进一步深化“数形结合”的数学思想. 5、总结反思、共同提高

设计意图：《纲要》中提出，注重学思结合，提倡启发式、探究式、参与式教学，激发学生的好奇心，促进每个学生主动地、生动活泼地发展.让学生走出校园，感受生活中的数学，小组互助学习共同体验成功是对这一理念的理解和尝试.新的研究性课题旨在培养学生善于观察、勤于思考的习惯.通过设计开放性问题，可以调动学生学习的积极性，注重学思结合，提倡启发式、探究式、参与式教学，激发学生的好奇心，布置分层作业可以巩固学生本节课所学的知识并落实教学目标，巩固知识、发现和弥补教学中的不足，对学有余力的同学留出自由发展的空间的同时，开阔了视野，构建了学生学习的空间．