探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学设计内容推荐

第一讲

三角函数图象与性质

宁蒗一中

胡昱

考点整合1.常用三种函数的图像性质（下表中k∈Z）

y＝sinx y＝cosx y＝tanx

图象

定义域

x∈R

{x|x∈R且x≠

πkπ＋，k∈Z}．

2x∈R

续表

值域

周期

奇偶性

y＝sinx [－1,1]

2π

奇函数

单调递增区间y＝cosx [－1,1]

2π

偶函数

y＝tanx

R

π

奇函数

ππ2kπ,2kπ;

22单调性

π单调递减区间2＋

3π2kπ，2＋2kπ(k∈Z)



单调递增区间单调递增区间

[(2k－1)π，2kπ]；

ππ单调递减区间kπ,kπ

22[2kπ，(2k＋1)π]

(k∈Z). (k∈Z)

2.三角函数的常用结论

（1）．辅助角公式asin α＋bcos α＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cos φabb＝22，sin φ＝22或tan φ＝a. a＋ba＋b（2）．三角函数的奇偶数、周期性、对称性的处理方法

π(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋2(k∈Z)，同时当x＝0时，f(x)取得最大或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，同时当x＝0时，f(x)＝0.

(2)求三角函数最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T2π2ππ＝|ω|，T＝|ω|，T＝|ω|求解．

(3)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．

2k＋1φ3．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)，则对称轴x＝2ωπ－ω

kπ－φ(k∈Z)．

对称中心为，0ω二轮复习

数学第1部分

专题三

三角函数及解三角形

小题速解——不拘一格

优化方法

类型一

三角函数图象及其变换

[典例1]

(1)(2016·高考全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(

)

πA．y＝2sin2x－6

πC．y＝2sinx＋6

πB．y＝2sin2x－3

πD．y＝2sinx＋3

解析：通解：根据图象直接求A，ω，φ.

根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A，ω与φ的值．

Tπππ2π由图象知2＝3－－6＝2，故T＝π，因此ω＝π＝2.又图象的一πππ个最高点坐标为3，2，所以A＝2，且2×3＋φ＝2kπ＋2(k∈Z)，故ππφ＝2kπ－6(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin2x－6. 答案：A (2)(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－3cos x的图象可由函数y＝sin x＋3cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．

解析：通解：化简后平移

πx－函数y＝sin x－3cos x＝2sin3的图象可由函数y＝sin x＋3π2πcos x＝2sinx＋3的图象至少向右平移3个单位长度得到．

2答案：3π

[母题变式] 若本例(1)的图象变为求f(x)的解析式．若要得到y＝sin x的图象，π由y＝f(x)的图象如何变换？0＜φ＜2. 

Tπππ解：2＝6－－3＝2，∴T＝π，∴ω＝2

ππ当x＝6时，y＝2，∴2＝2sin2×6＋φ，

ππ∴φ＝6，∴f(x)＝2sin2x＋6



将f(x)图象的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平π1移6个单位，然后再将纵坐标缩小到原来的2倍(横坐标不变)即得到y＝sin x的图象．

1．已知图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的方法

M－m(1)求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则A＝2，BM＋m＝2.

2π(2)求ω，已知函数的周期T，则ω＝T.

(3)求φ，常用方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)，或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点φ－，0作为突破口，具体如下：

ω“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为πωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象3π的“谷点”)为ωx＋φ＝2；“第五点”为ωx＋φ＝2π.

2．三角函数图象平移问题处理策略

(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点．

(2)看左右移动方向，左“＋”右“－”．

(3)看移动单位：在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相，再经φ过ω的压缩，最后移动的单位是ω. [自我挑战] 1．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(

)

13A.kπ－4，kπ＋4，k∈Z

13B.2kπ－4，2kπ＋4，k∈Z

13C.k－4，k＋4，k∈Z

13D.2k－4，2k＋4，k∈Z

51解析：通解：选D.由函数图象知T＝2×4－4＝2.

2π∴ω＝2，即ω＝π.

1ππ由π×4＋φ＝2＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝4.

π∴f(x)＝cosπx＋4

π由2kπ＜πx＋4＜2kπ＋π得，

132k－4＜x＜2k＋4，k∈Z，故选D. 求解三角函数的性质问题的常用方法及技巧

1．求单调区间的两种方法

(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，则y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得．

(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．

2．判断对称中心与对称轴：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．

3．三角函数的周期的求法

(1)定义法；

(2)公式法：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2ππ，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为|ω||ω|.

(3)利用图象．

三角函数解析式化简的基本思路

11．将“sin xcos x”化为2sin 2x，将sin2x或cos2x降幂．

2．函数解析式成为“asin x＋bcos x”后，利用辅助角公式化为aba＋bsin(x＋φ)，cos φ＝22，sin φ＝22.

a＋ba＋b223．利用整体思想，对于a2＋b2sin(ωx＋φ)型的三角函数．视“ωx＋φ”为整体，利用sin x的性质来求解．

[自我挑战] 1．(2017·山东德州一模)已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋23sin2ωx

－3(ω＞0)的最小正周期为π.

(1)求函数f(x)的单调增区间．

π(2)将函数f(x)的图象向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b＞0)上至少含有10个零点，求b的最小值．

解：(1)由题意得f(x)＝2sin ωxcos ωx＋23sin2ωx－3＝sin 2ωxπ－3cos 2ωx＝2sin2ωx－3，

由最小正周期为π，得ω＝1，

π2x－所以f(x)＝2sin3，

πππ由2kπ－2≤2x－3≤2kπ＋2，k∈Z，

π5π整理得kπ－12≤x≤kπ＋12，k∈Z，

π5π所以函数f(x)的单调增区间是kπ－12，kπ＋12，k∈Z.

π(2)将函数f(x)的图象向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin 2x＋1的图象，

7π11π所以g(x)＝2sin 2x＋1.令g(x)＝0，得x＝kπ＋12或x＝kπ＋12(k∈Z)，

所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零11点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π＋1259π＝12π.