2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计内容推荐

平面向量的概念及其线性运算

铜梁二中

夏远芬

教学目标

（1）理解向量的概念，掌握向量的表示方法；

（2）理解特殊的向量：零向量、单位向量；理解向量的几种特殊关系：平行（共线）向量、相等向量；

（3）体会研究一个数学新对象的基本方法；

（4）经历向量的概念、表示及特殊向量的学习，感受类比的思想和联系的观点是科学探究中常用的策略，进而提高提出问题、研究问题的能力；

（5）经历借助有向线段表示向量的操作过程，体会数学的实用性、表达的简洁美．

学生学情分析

学生已经具备的认知基础以及达成教学目标时所需要具备的认知基础如下。

（1）在物理学中，已经知道重力、弹力、摩擦力等是既有大小又有方向的物理量（矢量）；

（2）知道可以借助有向线段来求作力的图示；

（3）已经经历并了解实数的形成过程；

（4）对实际生活中的一些常见的量能识别它们是否具有大小、方向；

（5）在以前的学习中，能运用类比的思想发现问题、提出问题，进而实现解决问题．

但是，高一学生在思维辨析方面还较薄弱．所以在对向量的长度而不是对向量本身进行度量的问题上，教师要适度加以引导，指导学生进行辨析．

基于上述分析，本节课的难点在于向量相关概念的形成．这是学生获得新的数学对象的基本方法、基本套路的重要体现，需要学生思维的灵活性和思考的主动性．

教学策略分析

为了更好地突出教学重点，突破教学难点，完成教学目标，笔者采用启发指导式、探究讨论式的教学方式．通过“创设情境，归纳共性”“抓住本质，抽象定义”“合作探究，形象表示”“认识特殊、辨析升华”“归纳小结，拓展思考”等教学环节循序渐进地获取研究新对象，合乎情理地定义新对象，逐步形成研究向量的一般套路，引导学生达成本节课的教学目标．

笔者采取以下主要策略突破难点。

（1）通过大量实例引导、启发学生联系既有生活经验，从众多实例中归纳抽象出实例中对象的本质属性，形成向量这一概念，理解及其所具备的两个要素．

（2）先让学生独立思考，然后同桌相互讨论，再请学生在黑板上展示，大家一起探求合理而简洁的表示向量的方法．

（3）通过联系的观点、类比的思想，引导学生联系实数中特殊的0与1，结合向量的两个要素来理解零向量与单位向量．

（4）通过类比的思想，引导学生联系数的相等，结合向量的本质属性，认识相等向量、共线向量的概念．

在本节课的教学中，教师应关注学生的主体地位，他们是向量及相关概念的建构者，教师只是帮助学生建构新知识的组织者、合作者和参与者，其主要任务是为学生建构新知识提供支架．学生对新知识的建构情况是多样的，并不是一蹴而就的．因此，笔者在设计本节课时，根据学情对每一个建构活动都做好了充分的预案，针对学生的不同建构，灵活地进行引导启发，帮助学生获得对知识的正确理解．

教学过程

（一）创设情境，归纳共性

结合ppt，展示三个情境。

（1）与男子100米世界冠军博尔特“赛跑”；

（2）老鼠由点A向东北方向以每秒1米的速度逃窜，猫由点B向正东方向以每秒5米的速度追赶．猫能抓到老鼠吗？为什么？

（3）甲、乙两车分别以40千米/时、60千米/时的速度从同一地点出发。

①甲、乙两车都向东行驶，1小时后，它们相距多少千米？

②甲车向东、乙车向西，1小时后，它们相距多少千米？

两车同样的速度（大小）和时间，为什么前后两种情境，两车距离悬殊这么大？

师：（追问）你能再举出类似既有大小又有方向的量吗？

师：（再次追问）那你能举出只有大小没有方向的量吗？

【设计意图】

（1）通过以上三个实例，让学生充分感受“既有大小又有方向的量”是客观存在的，进而让学生发现并讲出现实生活中具有既有大小又有方向的量．

（2）通过三个例子，主要侧重于学生对方向的感知，三个例子都是因为“方向”而影响结果．

（3）教师的追问在于激活学生已有的相关经验，进一步加深对既有大小又有方向的量的理解.

（4）教师的再次追问在于形成区别，对比不同的量的必要性，反面渗透向量的本质属性之一“方向”.

(二) 抓住本质，抽象定义

刚才同学们提到的位移、速度、力等既有大小又有方向的量在生活中大量存在，类似于以前我们从一支笔、一本书、一张桌子抽象出了只有大小的数量1，数学中对以上既有大小又有方向的量进行抽象，就形成了一种新的量——向量。

教师随即强调：从向量的概念可以看出，它不同于我们之前学习研究的“数”．数只有大小，没有方向．而向量既有大小又有方向．

【设计意图】

反复强调方向的重要性，向量的方向虽然不难理解，但容易被忽略．

(三)

合作探究，形象表示

师：我们研究数学知识，认识数学概念之后，为进一步研究的方便，通常要先表示它，向量也是如此．结合已有的经验，你打算怎样表示向量呢？

给予学生充足的时间思考。

【设计意图】

（1）当我们认识一个新事物后，自然会想到如何来表示它．在过渡语言中，渗透研究新事物的基本套路．

（2）表示向量时，既要考虑大小，又要兼顾方向，这是一个难点，给予学生充足的时间，旨在期望学生自行突破．

教学预案：

（1）若学生通过充分的独立思考后，仍然没有解决之道，教师可以鼓励同桌之间相互讨论．

（2）若充分讨论之后，仍然没有办法，此时教师给予适时引导：物理学中，我们是如何形象地表示力（位移）的大小和方向的？

（3）在任何一个环节中，只要存在部分学生有了思路，便鼓励其到黑板上展示．

（4）展示结果时，学生如果不能一步到位，教师要适时引导，表示向量时，在合乎情理（既要考虑大小，又要兼顾方向）的前提下，如何让其表达更为简洁？发动全班学生的力量解决问题．此处坚持让学生自主得出向量的表示方法以及表示的合理性（借助于有向线段来表示向量）．

教师用准确的语言对向量的表示做准确的描述并加以强调。

【设计意图】

（1）作为对一个新事物的形象表示，教师有必要做准确的陈述，并加以强调．

（2）结合学生的描述，教师引导学生适时拓展，得到向量的多种合情合理的表示．

（3）在教师引导下，理应有学生可以想到借助于有向线段来表示向量，教师借此机会进行表扬，称赞其想法与大数学家牛顿的想法不谋而合，赞扬学生的同时，渗透数学史的知

识．

师：（追问）向量AB与向量BA是一回事儿吗？

【设计意图】

启发学生时刻注意向量的方向性，得到了向量的常见表示方法之后，通过类比线段的表示方法，结合向量的特殊性，从而加深对向量概念的进一步理解．

（四）认识特殊，辨析升华

师：现在我们会表示向量了，我们可以更直观地研究它，我们自然可以想到先从特殊入手，那么，在向量这个大家庭中，你认为哪些向量特殊呢？

【设计意图】

能够表示向量之后，自然会想到对向量展开研究；研究新对象时，自然能想到先研究其中的特殊成员，教师的过渡语旨在进一步渗透研究数学新对象的基本套路．

教学预案：

（1）若学生不能回答出特殊的向量，教师可激发学生思考研究实数的基本套路，启发学生用类比的思想、联系的观点来突破对向量的研究．

（2）若学生能够发现特殊的向量，不管是回答的零向量、单位向量或是平行向量……首先引导其归类，然后将学生的思维往“关注大小”去引导，最后追问学生：“你为什么认为它比较特殊？”

师：（追问）我们已经知道了长度为0的向量是零向量，那它的方向呢？

【设计意图】

旨在进一步引导学生抓住向量的重要且容易忽略的要素——方向，并再次渗透规定任意方向的合理性．且用类比的方法，突破单位向量的方向问题．

有了单位长度的刻画，我们才有度量向量大小的标准．

指出图1中各向量的模，其中有没有单位向量，有几个？

【设计意图】

（1）旨在通过习题，立即反馈所学内容，加深对向量的模及单位向量的理解．

（2）通过以上图形，为平行向量（共线向量）的引出做铺垫．

师：从方向上看，图1中，向量与向量之间形成了怎样的特殊关系？

【设计意图】

教师启发，由学生归纳出平行向量的定义

师：平行向量是从方向上对向量关系的刻画，与他们大小有关吗？

【设计意图】

适时提醒和加深学生对向量的两个要素的认识．

师：在这几组平行向量中，有没有更特殊的？

教学预案：学生回答向量AB与向量EF方向相同，长度也相等．

师：我们可以给大小相等、方向相同的两个向量再下一个定义——相等向量。

【设计意图】

（1）让学生参与概念的定义过程，使概念成为学生观察、概括之后的自然产物．

（2）不仅关注概念的产生结果，更要注重概念的产生过程．尤其要重视学生用向量的概念去思维的过程．

师：两个向量是否相等，与他们的位置有关吗？

教师归纳，任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．说明同一向量是可以平行移动的“自由之躯”．

【设计意图】

反复渗透向量具有两个要素，相等向量说明向量可以“自由平移”，这为以后解决问题带来极大方便，也为共线向量的自然引出做好铺垫．

这节课我们对现实世界中的既有大小，又有方向的一种量（向量）进行了数学的归纳、抽象和定义，并围绕着这个基本概念，探究了它的表示及特殊向量——零向量、单位向量，特殊关系——平行（共线）、相等．实际上，今天我们不仅仅是在探究向量体系的基础，也经历了建立一个数学知识体系的过程，即“归纳共性—抽象定义—形象表示—认识特殊—研究一般”．

思考问题：继续用类比的思想、联系的观点，以及延续本节课研究向量的基本套路，你预见我们还可以研究向量

的哪些内容？

【设计意图】

（1）本节课花了较大的精力去抽象定义，形象表示，认识特殊。一方面，希望学生能够认识到探索过程的价值；另一方面，希望学生通过这节课，经历多个数学概念的形成过程，体会其中蕴涵的合理的思维方式和数学思想，从而得到研究新事物的基本套路．

（2）为检查学生对本节课的学习认识深度、理解水平以及继续激发与保护学生的探索兴趣，教师引导学生预见继续研究向量知识的方向．