复习参考题教学实录及点评

三角函数图象与性质复习

一、教学目标：（1）知识与技能：掌握三种三角函数的图像和性质，并能利用图像的性质解决三角函数问题，利如：单调性，周期性，奇偶性，对称性等；

（2）过程与方法：通过对比研究，类比法等过程总结和复习，研究性质，应用并解决实际问题；

（3）体会函数的综合应用以及函数的特有性质。

二、教学重难点：

（1）重点：正弦余弦函数图像性质

（2）难点：函数性质综合应用研究

三、教学过程：

1、重要知识点复习：

1．周期函数

(1)周期函数的定义：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．

(2)最小正周期：

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数

y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

定义域

R

[－1,1]

R

[－1,1]

{xx∈R且x≠

2＋kπ，k∈Z

R

π值域

2kπ－π，π＋

22单调性

2kπ(k∈Z)上递增；[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增；[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减

kπ－π，π＋

22kπ(k∈Z)上递增

2kπ＋π，3π＋

222kπ(k∈Z)上递减

πx＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；2最值

πx＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝2－1

奇偶性

对称

中心

对称轴

方程

周期

2、典例讲解：

奇函数

x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1

偶函数

奇函数

(kπ，0)(k∈Z)

π＋kπ，0

2(k∈Z)

kπ，0(k∈Z) 2

π

πx＝＋kπ(k∈Z)

22π

x＝kπ(k∈Z)

2π

π1．函数y＝tan4－x的定义域是(

) πx≠，x∈R

A.x4πx≠－，x∈R

B.x4

3πx≠kπ＋

，k∈Z，x∈R

D.x43π

x≠kπ－C.x，k∈Z，x∈R4ππ3π解析：选D

∵x－≠kπ＋，∴x≠kπ＋，k∈Z. 4242．(教材习题改编)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(

) A．y＝cos 2x

C．y＝tan 2x

B．y＝sin 2x

π2x－

D．y＝sin2π解析：选B

选项A、D中的函数均为偶函数，C中函数的最小正周期为，故选B. 23．函数y＝|sin x|的一个单调增区间是(

) ππ－，

A.443ππ，

C.2

π3πB.4，4

3π，2π

D.23ππ，上递增．

解析：选C

作出函数y＝|sin x|的图象观察可知，函数y＝|sin x|在2

ππ－________sin－. 4．比较大小，sin1810πππππ－，0上为增函数且－>－，故sin－>sin－. 解析：因为y＝sin x在218101810答案：> πx＋的最大值为________．此时x＝________. 5．(教材习题改编)y＝2－3cos4ππx＋π取得最大值5，x＋＝－1时，解析：当cos函数y＝2－3cos此时x＋＝π＋2kπ，4443从而x＝π＋2kπ，k∈Z. 43答案：5

π＋2kπ，k∈Z 4小结：

1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内．

注意区分下列两种形式的函数单调性的不同：

ππωx－；(2)y＝sin－ωx. (1)y＝sin442．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期．

3、分类强化练习

典题导入

[例1]

(1)(2013·湛江调研)函数y＝lg(sin x)＋(2)函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为(

) 5－，－1

A．[－1,1]

B.45－，1

C.4

5－1，

D.41cos x－的定义域为________．

2sin x>0，[自主解答]

(1)要使函数有意义必须有

1cos x－≥0，2sin x>0，即

1cos x≥，2

2kπ

π－＋2kπ≤x≤＋2kπ33π∴2kπ

3∴函数的定义域为

πx2kπ

(2)y＝sin2x＋sin x－1，令sin x＝t，则有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，1画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t＝－及t＝1时，函数25－，1. 取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈4π2kπ

(2)C [答案]

(1)x3

π0，，试求其值域．

若本例(2)中x∈2解：令t＝sin x，则t∈[0,1]．

15t＋2－. ∴y＝t2＋t－1＝24∴y∈[－1,1]．

∴函数的值域为[－1,1]．

由题悟法

1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：

(1)利用sin x、cos x的值域；

(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))．

1．(1)函数y＝以题试法

12＋logx＋tan x的定义域为________．

2ππ2x－在区间0，上的值域为(

) (2)(2012·山西考前适应性训练)函数f(x)＝3sin62

333－，

B.－，3

A.222333333C.－

D.－

，222，3解析：(1)要使函数有意义

x>0，则tan x≥0，πx≠kπ＋2，k∈Z利用数轴可得

函数的定义域是

12＋logx≥0，2

0

πkπ≤x

πx0

ππ5ππ1π0，时，2x－∈－，，sin2x－∈－，1，

(2)当x∈622666π332x－∈－，3即此时函数f(x)的值域是－，3. 故3sin622π0

(2)B 答案：(1)x2

典题导入

π[例2]

(2012·华南师大附中模拟)已知函数y＝sin3－2x，求：

(1)函数的周期；

(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．

ππ－2x可化为y＝－sin2x－. [自主解答]

由y＝sin332π2π(1)周期T＝＝＝π.

ω2πππ(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

232π5π得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 1212π－2x的减区间为

所以x∈R时，y＝sin3三角函数的单调性

kπ－π，kπ＋5π，k∈Z. 1212π－2x的减区间为

从而x∈[－π，0]时，y＝sin3－π，－7π，－π，0. 1212由题悟法

求三角函数的单调区间时应注意以下几点：

(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx＋φ看作是一πππ3π个整体，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)求得函数的增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋22222kπ(k∈Z)求得函数的减区间．

(2)形如y＝Asin(－ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数，可先利用诱导公式把x的系数变为正数，πππ得到y＝－Asin(ωx－φ)，由－＋2kπ≤ωx－φ≤＋2kπ(k∈Z)得到函数的减区间，由＋2223π2kπ≤ωx－φ≤＋2kπ(k∈Z)得到函数的增区间．

2(3)对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)等，函数的单调区间求法与y＝Asin(ωx＋φ)类似．

以题试法

2．(1)函数y＝|tan x|的增区间为________．

ππ，c＝fπ，则a，b，c的大小关(2)已知函数f(x)＝sin x＋3cos x，设a＝f，b＝f763系是(

) A．a

C．b

B．c

D．b

πkπ，kπ＋，k∈解析：(1)作出y＝|tan x|的图象，观察图象可知，y＝|tan x|的增区间是2Z. π0，π上单调递增，π

而c＝f＝2sin＝2sin＝f(0)

(2)B 答案：(1)2

三角函数的周期性与奇偶性

典题导入

3π2x＋(x∈R)，给出下面四个命题：

[例3]

(2012·广州调研)已知函数f(x)＝sin2①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)是偶函数；

ππ0，上是增函数．其中正确③函数f(x)的图象关于直线x＝对称；④函数f(x)在区间24命题的个数是(

) A．1

C．3

B．2 D．4 3π2x＋＝－cos 2x，则其最小正周期为π，故①正确；易知[自主解答]

函数f(x)＝sin2π函数f(x)是偶函数，②正确；由f(x)＝－cos 2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝4π0，上是增函数，故④正确．综上可知，选对称，③错误；由f(x)的图象易知函数f(x)在2C. [答案]

C 由题悟法

1．三角函数的奇偶性的判断技巧

首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．

2．求三角函数周期的方法

(1)利用周期函数的定义；

2π(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最|ω|π小正周期为；

|ω|(3)利用图象．

3．三角函数的对称性

正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．

以题试法

ππ3．(1)(2013·青岛模拟)下列函数中，周期为π，且在4，2上为减函数的是(

) π2x＋

A．y＝sin2

π2x＋

B．y＝cos2

πx＋

C．y＝sin2

πx＋

D．y＝cos2(2)(2012·遵义模拟)若函数f(x)＝sin ax＋cos ax(a>0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为(

) π－，0

A.81－，0

C.8

B．(0,0) 1D.8，0

πππ2x＋＝cos 2x的周期为π，且在，上解析：(1)选A

对于选项A，注意到y＝sin242是减函数．

π2πax＋，又函数的最小正周期为1，故＝1，∴a＝2π，(2)选C

由条件得f(x)＝2sin4aπ12πx＋.将x＝－代入得函数值为0.

故f(x)＝2sin48