探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教案及板书设计

1.4.1

正弦函数、余弦函数的图象

[学习目标]

1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．

知识点一

正弦曲线

正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象叫正弦曲线．

利用几何法作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的过程如下：

①作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆，如图所示．

②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x轴的垂πππ线，可以得到对应于0，，，，…，2π等角的正弦线．

632③找横坐标：把x轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份．

④平移：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合．

⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．

π3π在精度要求不太高时，y＝sin x，x∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，22(2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图．

思考

在所给的坐标系中如何画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？如何得到y＝sin x，x∈R的图象？

答案

y＝sin x，x∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下：

只要将函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．

知识点二

余弦曲线

余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象叫余弦曲线．

ππx＋＝cos x，x∈R.只需把正弦函数y＝sin x，x∈R的图象向左平移个根据诱导公式sin22单位长度即可得到余弦函数图象(如图)．

π3，0，(π，－1)，π，0，(2π，要画出y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，221)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象．

思考

在下面所给的坐标系中如何画出y＝cos x，x∈[0,2π]的图象？

答案

题型一

“五点法”作图的应用

例1

利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．

解

(1)取值列表：

x sin x 1－sin x

(2)描点连线，如图所示：

0

0

1

π

21

0

π

0

1

3π

2－1

2

2π

0 1

反思与感悟

作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．

跟踪训练1

作函数y＝sin x，x∈[0,2π]与函数y＝－1＋sin x，x∈[0,2π]的简图，并研究它们之间的关系．

解

按五个关键点列表：

x sin x －1＋sin x

利用正弦函数的性质描点作图：

0

0

－1

π

21

0

π

0

－1

3π

2－1

－2

2π

0 －1

由图象可以发现，把y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y＝－1＋sin x，x∈[0,2π]的图象．

题型二

利用正弦、余弦函数图象求定义域

例2

求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．

sin x>0，解

由题意得，x满足不等式组

216－x≥0，－4≤x≤4，即作出y＝sin x的图象，如图所示．

sin x>0，

结合图象可得定义域：x∈[－4，－π)∪(0，π)．

反思与感悟

一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．

跟踪训练2

求函数f(x)＝lg cos x＋25－x2的定义域．

cos x>0解

由题意得，x满足不等式组，

225－x≥0cos x>0即，作出y＝cos x的图象，如图所示．

－5≤x≤5

结合图象可得定义域：

3ππ3－5，－π∪－，∪π，5. x∈2222题型三

利用正弦、余弦函数图象判断零点个数

例3

在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．

解

建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象．

描出点(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．

由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．

反思与感悟

三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．

跟踪训练3

方程x2－cos x＝0的实数解的个数是

．

答案

2 解析

作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，

由图象，可知原方程有两个实数解．

数形结合思想在三角函数中的应用

例4

函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．

3sin x，x∈[0，π]，解

f(x)＝sin x＋2|sin x|＝

－sin x，x∈，2π].

图象如图，

若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据图可得k的取值范围是(1,3)．

点评

(1)画y＝|sin x|的图象可分两步完成：第一步先画出y＝sin x，x∈[0，π]和y＝－sin x，x∈[π，2π]上的图象；第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线．(2)一般地，函数y＝|f(x)|的图象可将函数y＝f(x)的图象作如下变换得到：在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方，x轴上方的部分保持不变．

1．函数y＝sin x (x∈R)图象的一条对称轴是(

) A．x轴

C．直线y＝x

答案

D 2．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(

) π1A．(，)

62C．(π，0)

答案

A π1解析

易知(，)不是关键点．

6213．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x22＝

. 答案

3π

解析

如图所示，

3πx1＋x2＝2×＝3π.

24．利用“五点法”画出函数y＝2－sin x，x∈[0,2π]的简图．

解

(1)取值列表如下：

πB．(，1) 2D．(2π，0) B．y轴

πD．直线x＝

2

x sin x y＝2－sin x

(2)描点连线，图象如图所示：

0

0

2

π

21

1

π

0

2

3π

2－1

3

2π

0 2

5．已知0≤x≤2π，试探索sin x与cos x的大小关系．

解

用“五点法”作出y＝sin x，y＝cos x(0≤x≤2π)的简图．

π5π由图象可知①当x＝或x＝时，sin x＝cos x；

44π5π②当cos x；

44π5π③当0≤x<或

1．对“五点法”画正弦函数图象的理解

(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．

(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．

2．作函数y＝asin x＋b的图象的步骤

3．用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0,2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出．

一、选择题

π3π－，的简图是(

) 1．函数y＝－sin x，x∈22

答案

D 2．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(

) A．重合

B．形状相同，位置不同

C．关于y轴对称

D．形状不同，位置不同

答案

B 解析

根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．

x3．方程sin x＝的根的个数是(

) 10A．7

B．8

C．9

D．10 答案

A x解析

在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如图所示：

10

根据图象可知方程有7个根．

4．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图象为(

)

答案

D 解析

由题意得

y＝π30，

显然只有D合适．

3ππ5．如图所示，函数y＝cos x|tan x|(0≤x<且x≠)的图象是(

) 22

答案

C

π解析

当0≤x<时，y＝cos x·|tan x|＝sin x；

2π当

23π当π

2故其图象为C. 6．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是(

) A．4

B．8

C．2π

D．4π

答案

D 解析

作出函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象，函数y＝2cos x，x∈[0,2π]

的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．

利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，

∴S阴影部分＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.

二、填空题

7．函数y＝1logsin x的定义域是

．

2答案

{x|2kπ

由logsin x≥0知0

．

222kπ－π，2kπ＋π，k∈Z

答案

332212kπ－π，2kπ＋π，k∈Z. 解析

2cos x＋1≥0，cos x≥－，结合图象知x∈3329．函数f(x)＝sin x＋1的定义域为

．

16－x2答案

(－4，－π]∪[0，π]

sin x≥0，2kπ≤x≤2kπ＋π，解析

⇒

216－x>0－4

⇒－4

10．设0≤x≤2π，且|cos x－sin x|＝sin x－cos x，则x的取值范围为

．

π5π答案

4，4

解析

由题意知sin x－cos x≥0，即cos x≤sin x，在同一坐标系画出y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示：

π5π观察图象知x∈4，4. 三、解答题

111．用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0,2π]的简图．

2解

(1)取值列表如下：

x sin x 0

0

π

21

π

0

3π

2－1

2π

0

1＋sin x 2

(2)描点、连线，如图所示．

1

23

21

21－

21

2

12．根据y＝cos x的图象解不等式：

－31≤cos x≤，x∈[0,2π]．

22解

函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图所示：

根据图象可得不等式的解集为

π5π7π5π{x|≤x≤或≤x≤}．

366313．分别作出下列函数的图象．

(1)y＝|sin x|，x∈R；

(2)y＝sin|x|，x∈R. sin x

2kπ≤x≤2kπ＋π，解

(1)y＝|sin x|＝

－sin x

2kπ＋π

(k∈Z)．

其图象如图所示，

sin x

x≥0，(2)y＝sin|x|＝

－sin x

x<0.

其图象如图所示，