构建知识体系国家获奖教案

勾股定理知识点体系构建

一．知识归纳

１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2

2.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

3.勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC中，C90，则ca2b2，bc2a2，ac2b2

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

③可运用勾股定理解决一些实际问题

4.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：

①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

1方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，4ab(ba)2c2，化简可证．

2DHEFbAcGaBCbacabAa

DbcccBb

bccbaEaCa

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

1四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S4abc22abc2

2大正方形面积为S(ab)2a22abb2，所以a2b2c2

111方法三：S梯形(ab)(ab)，S梯形2SADESABE2abc2，化简得证

222５.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；

②定理中a，b，c及a2b2c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2c2b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形

６.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

③用含字母的代数式表示

７．勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．

８.．勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．

９.勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．

10.题型总结

典型题训练

一．勾股定理

1.在Rt△ABC中，AC=12，AB=20，求BC的长。

2.△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，求△ABC的周长。

二．勾股定理的逆定理

1.已知，在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,an1,b2n,cn1(n1)，求∠C的度数。

2.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240海里时方向仪坏了，凭经验，船长指挥船左转90º，继续航行70海里，则距出发地250海里，你判断船转弯后是否沿正西方向航行？

三．最短路径问题

1.如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？

2.有一圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，若油罐底面半径是4m，高是7m，π≈3，问梯子最短是多少米？

三．折叠问题

1.如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF=6.25cm，求AD的长。

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2.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求EC的长。

3.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿着直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长。

4.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点A′，且B′C=3，求CN和AM的长。

四．网格问题

1.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点在格点上，求△ABC中AB边上的高。

六．面积问题

1.如图，直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的边长分别为6和8，求b的面积。