2.用转化的策略求简单数列的和优秀教学设计

在不同角度中实现转化

——苏教版五下“解决问题的策略(转化)”教学实录与思考

镇江市中山路小学金妮娜

教学目标

1.思考解决问题的着眼点,经历在不同角度中探索、发现、尝试并成功实现转化解决问

题的过程。

2.体验转化的价值,掌握一些具体的转化方法,进一步积累转化的经验,增强自觉运用转化策略解决问题的意识,初步形成转化观念。

3.感受数学文化独特的美,激发热爱数学的美好情感。

教学过程:1.复习导入

师:通过上节课的学习,你对转化的策略有了哪些认识和体会?

生1:运用转化策略可以把复杂的问题变简单。(板书:复杂→简单)

生2:还可以把我们要解决的陌生问题转化成已经能解决的熟悉的问题。(板书:未知→已知)

师:(屏幕呈现)苏联数学家雅诺夫斯卡娅总结过:“什么叫解题?解题就是把题目转化为已经解过的题。”你们的解题观念和数学家的观念是一致的,了不起。但要想成功实现转化,里面的学问还有很多,这节课我们进一步学习解决问题的策略——转化。

【设计意图:通过复习,引领学生提升转化策略意识,凸显本节课策略思想的核心地位。】2.例题教学

出示教材例2:计算1/2+1/4+1/8+1/16

师:上节课结束后,老师给大家留了这道思考题。观察一下,你有什么发现?

生1:4个分数连加,每个加数的分子都是1。

生2:分母是有规律的,后面一个分数的分母是前面一个分数分母的2倍。

生3:前面的加数是它后面加数的2倍,后面的加数是前面加数的一半。

师:我发现,同学们用转化的策略解决这个问题时,想到了好几个角度(板书:角度)。课前,我把你们自己想到的角度作了简单的分类和整理。

师:想到“化小数”这个角度的请起立(40人),想到“通分”的(43人),“找规律”(5人),看得出同学们很善于思考!

师:大部分同学想到了前两个角度,和这位同学的解答差不多。(呈现学生作品,如下图)

师：（现场采访该生）这样解答，成功实现转化解决问题了吗？

生：我觉得成功了，通分是把异分母分数转化成同分母分数，而同分母分数加法是我们 已经学过的知识；化小数是把异分母分数加法转化成我们已经能够解决的小数加法。

师：化小数和通分这两个角度，都把新问题转化到了我们非常熟悉的领域，就可以解决 问题了。（板书：熟悉领域）

师：既然问题已经解决了，那下面的三个角度就没必要再研究了吧？

生1（急切地）：我觉得很有必要，我们在学习过程中不能只满足于两种解决办法。

生2：对，要研究的！用多种方法解一道题会学到更多的知识，一题多解会让人更聪明。 师：数学家波利亚曾经主张，与其做大量的难题，不如把一道题的各个侧面研究理解通 透，这样会积累更多的经验，提高解决其他问题的能力！请在“找规律”“先

+ 1/16，再

- 1/61“

“画图”中选择你最感兴趣的一个角度，选择相同角度的同学组合到一起共同研究。

（教师根据学生的选择情况现场分组。“找规律”分 2组，“先

+ 1 /16，再

-1/ 16”分2组，“画图”分3组）

①“找规律”

生：四个异分母分数连加的式子有点复杂，我们先从简单想起，从2个加数算起。 1/2+1/4=3/4，1/2+1/4+1/8=7/8我们猜想得数的分母是算式中最后一个分数的分母，分子比分母少1。再加1

/16发现得数是

1615，验证了我们的猜想，从而找到了规律。我们相信，如果这

师：他们组是从简单想起找规律的。（板书：从简单想起）体会一下，是不是把复杂变简 单了呢？（是）

师：这是一种非常重要的转化手段，如果碰到更复杂的问题，我们更能体会到从这一角 度去转化的优势。,

②“先+ 1/16，再- 1 /16

生：“先+1/16”之后，就像我们以前计算中的凑整，1/2+1/4+1/8+1/16+1/16“

就凑成了整数1了，再-1/16,使得结果不变，就是15/16，

师：你们能看懂他画的圈的意思吗？

生：圈在一起就凑成了整数“1”，就是我们以前计算中的“凑整”。

师：能举个凑整的例子吗？

生：比如，计算“999+23”，可以先999+1凑成1000，再用1023-1=1022。

师：他们先加1/16，凑成了“1”，是从整体来思考的。（板书：整体思考）只从部分考虑，有时就会像盲人摸象一样看不清楚，而从整体思考，先补上一个再减去一个，就会豁然开朗，问题就变得简单了。

③“画图”生：先画一个正方形，看作单位1 ，1/2就是个图形的一半，1/4是一半的一半，以此类推，算式1/2+1/4+1/8+1/16就表示这些阴影部分的总和，从图上可以发现，这个空白部分，也是1/16，阴影部分就是1-1/16,算式就可以转化成1-1/16=15/16.

师：他把复杂的算式转化成立简单的1-1/16,能看懂其中的奥秘吗？

生：整个正方形是单位1，空白部分是1/16,求阴影部分就要用到1-1/16.

师：看来，他们没有“正面击破”阴影部分，而是关注了空白部分。匈牙利数学家路莎·彼 得提出：“解题时，往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已 经能够解决的问题。”就像打仗的时候，正面攻击很难取胜，可以绕到侧面甚至反面来攻击，

就容易取得胜利。“

师：我还收集到几幅作品，观察一下，你有什么想说的吗？（实物投影如下）

生：就这道题来看，正方形图比线段图更形象一点，直观一点。

生：虽然正方形图和圆形图都比较形象，但正方形图画起来更方便。

师：大家说得很好，咱们平时画图也要不断优化自己的方法。

师：还有同学是这样画图的，出示平均分成16等分的正方形图，如下，把正方形看作是单位1，先平均分成16份，涂出8份是8/16,也就是1/2,涂出4份是4/16,也就是1/4,涂出2份是2/16,也就是1/8,涂出1份就是1/16,加起来一共是15份，就是15/16.

师：这张图实际上解释了大部分同学想到的什么转化方法？（通分）看来，画图还可以帮 助我们理解其他角度的转化方法。

师：想一想画图的过程，（屏幕呈现过程）你还能理解和找到刚才研究过的哪一种转换方法？ 生：找规律的转化方法！

师：前面同学介绍了“先+ 1/16，再-1/16的角度，从图中能理解和找到这一“从整体思考”的转化方法吗？

生：可以的，从图上看，先+ 1/16，就是先把空白部分补上，先得到一个正方形单位1，再-1/16 ，就是原来的结果了。

师，画图可以帮助我们理解和找到其他角度的转化方法。在这几个角度中，你感觉

哪一个对你的启发是最大的？

生：画图！

师：在解决计算问题的时候，你们能够想到画图，还能从画图的角度找到转化的方法，很了 不起。数学家华罗庚爷爷也有切身体会，他还专门写了这样一首诗与后人共勉。（屏幕呈现）

生（有感情地）：数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。 师：怎样解决问题，才是百般好呢？

生：数形结合。（板书：数形结合）

师：数学是研究数量关系和空间形式的科学，数和形本来就是紧密联系的。以后我们研 究形的问题时，不妨用数来辅助一下；研究数的问题时，不妨借形来帮助思考，找到多角度 的转化方法。

小结：回顾刚才的研究思路：“找规律”是从简单想起，把复杂转化为简单，先+ 1/16，再-1/16，是把几部分相加的问题转化为从一个整体来把握，问题就变的简单了，画图巧妙的把数和形结合起来，帮助我们理解和找到多角度的转化的方法。

3．巩固练习

（1）计算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128

（2）有16支足球队参加比赛，比赛以单场淘汰制（即每场比赛淘汰1支球队）进行。一 共要进行多少场比赛后才能产生冠军？（教师以4支、8支球队为例介绍单场淘汰

制的规则）

生：一共要进行15场比赛。因为第一轮要赛8场，第二轮要赛4场，第三轮要赛2场， 第四轮只要赛 1场就产生了一支冠军队，所以一共赛8+4+2+1=15场。

师：都是这样四个部分加起来想的吗？

生：我觉得可以把 16支球队看作一个整体，要产生一支冠军队，也就是要淘汰 16-1= 15支球队，而淘汰几支球队，就是要赛几场，所以要进行15场比赛。

师：听懂了吗？下面，画正方形图来帮助大家体会。（出示下图）

生：这个图启发我们从整体思考，16支队都淘汰就比 16场，但最后胜出一支冠军队不 被淘汰，就只要赛16-1=15场。

师：这道题和我们前面解答的例题在思考角度上有什么相同点？

生：都是从整体来思考的。

生：都可以用数形结合来启发我们找到转化的方法。

师：对，数形结合有助于我们整体把握问题，找到转化的方法，也有助于沟通知识之间的联系。

（3）综合练习：下面是一个装满了铅笔的铅笔架，你能计算出铅笔的支数吗？

师：要解决这个问题，你能想到哪些角度？

生：我想到可以一个一个地累加。

生：我想到了梯形面积计算公式。可以将两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，拼 成的平行四边形的底就是梯形的上底加下底之和，这样就把原来每层支数不一样多转化成每层支数相同了，高就是层数。

师：真厉害，数形结合被你用活了，把每层不同的支数转化成每层相同的支数，问题就变得简单了。

生：我还想到了平均数，通过移多补少把每层不同支数转化成每层都是10支铅笔，只要用10×9=90

+（9+11生：我想到了首尾相加，）+10=90（支），也是把每个加数不同转化成每组都是6+7+8+9+10+11+12+13+14=（6+1420，最后一个）+（7+1310单独加。）+（8+12 ）

师：都是很好的角度，还能想到其他角度吗？老师这儿还有个角度，你们能看懂吗？（屏 幕动态演示数形结合，将加法算式正序写一遍，再倒序写一遍，两算式中相同位置的数两两相加）小结：看来，只要有了转化的角度，大家往往能够豁然开朗。其实，转化的学问还很丰富转化的角度还有很多。（板书：……）在今后的学习中，只要逐步地积累经验，提高自己解决问题的灵活性，你会变得越来越智慧！

4.回顾总结

师：回顾这节课解决问题的过程，你对转化策略又有了哪些新的认识和体会？

生：我认识到转化的角度是多方面的，可以从不同的角度去思考转化同一个问题。

生：转化遇到困难时，要及时退回去，换个角度思考往往容易解决问题。

生：从上节课对转化肤浅的认识到现在深层的认识，我体会到数形结合有助于找到转化的方 法。可以从数的方面想图，也可以从图的方面想数，这样可以启发自己从简单想起去找规律，去 整体思考，多角度地思考和转化问题，让我们在以后的解题中可以八仙过海，各显神通！

师：看来，今天同学们的体会很多，收获也很大！转化的学问还大着呢，我们以后再做进 一步的研究。