2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀教案案例

2. 3.2-3平面向量正交分解及坐标表示和运算-教案

教学目标：

1．理解平面向量的坐标的概念；能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；

2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性

教学过程：

一、复习引入

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

a(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，e1，e2唯一确定的数量

二、讲解新课

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

1

axiyj…………○把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

2

a(x,y)…………○2式叫做向量的坐标表示.与其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定.

设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对有序实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算

思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a=(x1, y1)，b=(x2, y2)则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa（λ∈R）如何分别用基底i、j表示？

a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，



a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，

λa＝λx1i＋λy1j. aaabb思考2：根据向量的坐标表示，向量＋，－，λ的坐标分别如何？

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2);

a－b＝(x1－x2，y1－y2);

来源学科网ZXXK]

λa＝(λx1，λy1). 两个向量和与差的坐标运算法则：

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 思考3：已知点A(x1, y1),B(x2, y2)，那么向量AB的坐标如何？

来源学&科&网Z&X&X结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

思考4：一个向量平移后，起点坐标和终点坐标发生了变化，向量的坐标变了吗？

结论：1.任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置有关.

2.当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的坐标就是向量终点的坐标. 三、讲解范例

例1 教材p96例2 变式

如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？

a

j

O i

A B

P

a－b，例2 已知a=(2,1), b=(－3,4),求 a＋b，3a＋4b的坐标.（教材p97例4）

变式

已知a(3,2)，b(0,1)，求2a4b，4a3b的坐标.（教材p100练2）

例3 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）（3，4），求顶点D的坐标.（教材p97例5）

变式

已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 解：当平行四边形为ABCD时，由ABDC得D1=(2，

2); 当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，

6); 当平行四边形为DACB时，得D3=(6，

0). 四、课堂练习

1．若M(3，

-2)

N(-5，

-1) 且

MP1MN，

求P点的坐标

22．若A(0，

1)，

B(1，

2)，

C(3，

4) ，

则AB2BC=

. 3．已知：四点A(5，

1)，

B(3，

4)，

C(1，

3)，

D(5，

-3) ，

求证：四边形ABCD是梯形. 五、课堂小结

本节课主要学***面向量的坐标表示和运算法则：

（1）任一平面向量都有唯一的坐标；

（2）有向线段表示的向量坐标等于有向线段的终点坐标减去起点坐标；当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标；

（3）相等的向量有相等的坐标；

（4）两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和；

（5）两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差；

（6）实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标乘以该实数. 六、课后作业

点金训练2.3.2-3 P101习题A组：1，3，4，5，6.