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算法案例——辗转相除法

一、教材分析

选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章第4节。

1、地位作用：

与传统教学内容相比，《算法初步》为新增内容，算法是计算机科学的重要基础，从日常生活的电子邮件发送到繁忙的交通管理，从与人们生产、生活息息相关的天气预报到没有硝烟的战争模拟等等都离不开计算机算法。算法思想已经渗透到社会的方方面面，算法思想也逐渐成为每个现代人应具有的数学素养。

在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程，求解方程的步骤，以及将要学习的数列求和等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法思想。

本节内容是探究古代算法案例――辗转相除法，巩固算法三种描述性语言（自然语言、流程图和伪代码），提高学生分析和解决问题的能力。

2、教学目标：

（1）知识目标：

①理解辗转相除法原理；

②能用自然语言、流程图和伪代码表达辗转相除法；

③能应用迭代算法思想。

（2）能力目标：

①培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力；

②培养学生自主探索和合作学习的能力。

（3）情感目标：

①使学生进一步了解从具体到抽象，抽象到具体的辨证思想方法，对学生进行辨证唯物主义教育；

②创设和谐融洽的教学氛围和阶梯形问题，使学生在活动中获得成功感，从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情。

3、教学重点与难点：

（1）教学重点：

①理解辗转相除法原理；

②能用自然语言、流程图和伪代码表达辗转相除法。

（2）教学难点：

①理解和区分两种循环结构表达辗转相除法；

②能应用迭代算法思想。

二、教法学法

1、教法：以问题为载体，有引导的对话，让学生经历知识的形成过程和发展过程，从而突出教学重点，并采用多媒体教学，增加课堂容量，有利于学生活动的充分展开。

2、学法：以观察、讨论、思考、分析、动手操作、自主探索、合作学习多种形式相结合，引导学生多角度、多层面认识事物，突破教学难点。

三、教学过程设计：

1、情景设置――感知辗转相除法

（发给每位学生一张长为22cm，宽为6cm的纸条）

【问1】这张长方形的纸，先拿短边往长边上折，得到一个正方形，从长方形上裁掉这个正方形后继续将短边往长边上折，一直到最后剩下来的是正方形为止，最后得到的边长是几的正方形？

【师生互动解答】22＝6×3＋4；

6

＝ 4×1＋2；

4 ＝ 2×2＋0 ＝> 最后正方形的边长为2cm。

【设计意图】通过动手操作，直观感受辗转相除法的具体做法。

2、理解辗转相除法原理

【问2】22与6的最大公约数？

【设计意图】把辗转相除法和情景设置联系起来，承上启下，顺利过渡。

【问3】204与85的最大公约数？

【师板书】

204＝85×2＋34 85

＝ 34×2＋17 34

＝ 17×2＋0 ＝> 204与85最大公约数为17。

【师引导】总结辗转相除法具体步骤。

【师讲解】辗转相除法原理：（204，85）＝（85，34）＝（34，17）。

【练1】求678与35的最大公约数？

【设计意图】具体动手操作，巩固新知。

3、设计辗转相除法算法

【问4】写出两个正整数a,b(ab)的最大公约数的一个算法。

【师初步分析】运用辗转相除法，产生一列数：a,b,r1,r2,,rn1,rn,0。这列数从第三项开始，每项都是前两项相除所得的余数，余数为0的前一项rn，既是a和b的最大公约数。

递推关系：rnmod(rn1,rn2)（其中r1mod(a,b)，r2mod(b,r1)）

【问5】可选用什么结构书写此算法？

【生答】循环结构。

【生分组讨论】共分为两个小组，分别用直到型和当型循环结构写算法、画流程图和写伪代码，并派代表演板流程图和伪代码。

【幻灯片显示】 当型循环结构算法：

直到型循环结构算法：

S1 输入两个正整数a,b(ab)；

S1

输入两个正整数

a,b(ab)；

S2 若mod(a,b)0，则输出最大

S2 rab的余数；

公约数b；若r0，则转S3。

S3 rab的余数；

S3 ab,br；

S4 ab,br；

r0S4 若，则输出最大公约数

a；

若r0，则转S2。

当型循环结构流程图：

直到型循环结构流程图：

直到型循环结构伪代码：

Read

a,b(ab)

输入a,b输入10 Read a,a,bb

While

mod(a,b)0

br20 rrmod(mod(a,ab,)b)

rmod(a,b)

30 ab

ab

40 bar

babbr

50

If r0 then goto End While

20 brabrmod(a,b)

60 Print a

Print

b

NN

mod(a,b)0r0【师点评结果】通过演板的流程图和伪代码的对比，梳理算法，

YY强调选择不同的循环结构导致输出结果不同。

10

Read x,y 输出输出b【设计意图】

a

20

mx ①多角度分析问题，加强综合运用知识能力；

30 ny ②通过小组合作探索，激发学生兴趣，巩固新知；

40 cm-int(m/n)×n ③渗透从具体到抽象的数学思想方法，体会迭代

50 mn 的算法思想。

60 nc

70 If m/n=int(m/n) then goto 40 4、应用辗转相除法算法

80 Print m 【练2】右面一段伪代码的目的是：( ) （练2）

A.求x,y的最小公倍数 B.求x,y的最大公约数 C.求x被y整除的商 D. 求y被x整除的商

【生答】 B 【设计意图】会“

识”直到型循环语句描述的应用辗转相除法求最大公约数。

【练3】右面一段伪代码的输出结果是：（ ） A.1 B.429 C.190 D.6 【生答】 A 【设计意图】会“识”当型循环语句描述辗转相除法

并且会“算”最大公约数。

【练4】设计计算两个正整数a,b(ab)的

最小公倍数的算法。

【设计意图】会“用”辗转相除法的算法语句。

【师提示】最小公倍数＝a1048

b429

While mod(a,b)0

rmod(a,b) ab

brEnd While Print b (练3)

ab

最大公约数

【师点评】易错点为：

【生演板】 Read

a,b(ab)

Read

a,b(ab)

Sab

x1

While

mod(a,b)0

While

mod(x,a)0

rmod(a,b)

and

mod(x,b)0

ab

br

xx1

End While

End While

Print

x

S

Print

b

【问6】：还有其他算法吗？

Read

a,b(ab)

【生答】运用案例1穷举算法方法

x1

While

mod(x,a)0

and

mod(x,b)0

xx1

End While

Print

x

【设计意图】①巩固练习辗转相除法算法；②重温上节课孙子问题的穷举算法思想。

5、课堂小结：

【问7】①今天这节课主要学习了什么内容？

②在问题的解决过程中，我们运用了那些数学思想？

【答】①回顾从具体到抽象的研究方法；

②掌握运用辗转相除法求两个正整数的最大公约数；

③体会迭代算法思想。

【设计意图】使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识，对本节课所用的迭代算法数学思想方法有一个明确的了解。

6、布置作业：

①必做题：写出3428与736的最大公约数和最小公倍数的算法；

②选做题：课本P23：4（斐波那契数列）；

③拓展延伸：阅读课本P28《辗转相除与更相减损》

【设计意图】

①必做题让所有学生再次巩固本节课所学内容；

②选作题体现迭代算法思想，可供学生提高之用；

③阅读中国古代类似算法――更相减损法，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强民族自豪感。

7、板书设计：

辗转相除法

1、分析

3、流程图

5、演板练习

2、算法

4、

伪代码

四、评价分析：

1、指导思想：

①新知识与旧知识相结合的原则；

②掌握知识与发展智力、能力相统一的原则；

③教师的主导作用与学生的主体作用相结合的原则。

2、本节课特点：

①教学模式

打破了传统的教学模式，采用了以问题为载体，以老师引导和小组合作探究为主要形式。

②教学设计符合学生的认知规律

在整个教学过程中，始终体现这一思想，如：让学生动手操作，组织讨论，学生演板，辗转相除法的算法的引出从特殊到一般。

③强化学生的应用意识

新课的导入，设计了与本课密切相关的实际问题，结束前又运用所学知识解决问题，课后的选作题是迭代算法思想的进一步应用。