2.1.2 向量的几何表示教学设计第一课时

数学平面向量的实际背景及基本概念

教

一、教学分析

本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础. 二、教学目标

1、知识与技能：

了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。

2、过程与方法：

通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。

3、情感态度与价值观：

通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。

三、重点难点

教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量. 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 四、教学设想：

（一）导入新课

(情境导入)在同一时刻,老鼠由A向东北方向的C处逃窜,猫在B处向东南方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课. （二）推进新课、新知探究、提出问题

在物理课中,我们学过力和位移的概念，通过力和位移的概念类比得出数学中的向量的概念

我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量. 实际上在生活中我们已经遇到过一种只有大小的量，例如，一棵树、一本书、一支笔、温度、路程、密度等，我们曾把这种量称为数量.

只有大小，没有方向的量（如年龄、身高长度等）叫做数量（物理学中称为标量）

提出问题

（阅读课本75页）

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小组讨论：读一读、说一说、议一议：

1、向量的几何表示？

2、“向量就是有向线段，有向线段就是向量”这种说法对吗？

3、向量的字母表示? 4、向量的模? 5、零向量? 6、单位向量?

活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点、B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.起点要写在终点的前面. 已知AB,线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度,记作|AB|.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.

图2 知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定. 用有向线段表示向量的方法是: 1°起点是A,终点是B的有向线段,对应的向量记作:AB. 这里要提醒学生注意AB的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点. 2°用字母a,b,c,…表示.(一定要学生规范书写:印刷用黑体a,书写用a) 3°向量AB(或a)的大小,就是向量AB(或a)的长度(或称模),记作|AB|(或|a|). 讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a →来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB、CD. 注意:手写体上面的箭头一定不能漏写. ②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三

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个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.

图3 ③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量. （三）应用示例

例1.某人从A点出发向北偏东30方向走了2米到达B点，然后从B点改变方向向西走了1米到到C点（1）作出向量AB,BC,CA(2)求出向量CA

的模

活动：让学生上黑板作图完成例题，其他学生指正

例2.判断题

1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ）

2.向量的模是一个正实数。（

）

3.若|a|>|b| ，则a > b （ ）

教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小,像a＞b就没有意义,而|a|>|b|有意义. 从而的出概念

④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. ⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.

图4 又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出OA＝a,OB=b,

OC=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量. 说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系. ⑥共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在

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同一直线上的线段的位置关系. 思考：相等向量是共线向量吗？

共线向量是相等向量吗？

例3 如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,写出图中所示向量OA与相等的量. 变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？

变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向相反的向量？

变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？

活动:本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断OA与EF,OB与AF是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念. 点评:向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相同. 概念辨析

（1）模相等的两个平行向量是相等的向量；（2）若 a和b都是单位向量，则

a=b;(3)任一向量与它的相反向量(长度相同，

（4）共线的向量，若起点不

同，则终点也不同；方向相反的向量)都不相等；（5）若AB//CD，则AB//CD；（6）若AB//CD，则AB//CD；（7）a与 b共线，b 与 c共线，则

a与 c也共线

点评:本题考查基本概念,对于零向量，单位向量、相等向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好. （四）课堂小结

本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.

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同学们通过本节课的学习使我们感受到向量具有深刻的数学内涵和丰富的物理背景，它是代数研究的主要对象，也是几何研究的主要对象，是通过代数与几何的重要桥梁，是数形结合的重要思想的体现。

（五）作业基础题：

习题2.1

A组3,4, 5, 6

拓展题:

习题2.1

B组1，2，

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