2.1.2 向量的几何表示优秀教学设计

2.1.2 向量的几何表示

一.教材知识梳理

1．向量的定义

既有大小，又有方向的量称为向量．

2．向量的表示方法

(1)用有向线段表示：

带有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB. (2)用字母表示：

通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时用带箭头的小写字母a，b，c，…表示向量．

3．向量的长度(模) |AB|(或|a|)表示向量AB

(或a)的大小，即长度(或称模)．

4．向量的有关概念

零向量

单位向量

平行向量(共线向量)

相等向量

规定：零向量与任一向量平行

长度相等且方向相同的向量．

长度等于零的向量，记作0 长度等于1个单位的向量

方向相同或相反的非零向量．

向量a，b平行，记作a∥b.

向量a，b相等，记作a＝b

二.典型例题解析

[例1]

有下列说法：

①若a≠b，则a一定不与b共线；

②若AB＝DC，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；

③在▱ABCD中，一定有AD＝BC；

④若a＝b，b＝c，则a＝c；

⑤共线向量是在一条直线上的向量．

其中，正确的说法是________．

解答

对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；

对于②，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；

对于③，在▱ABCD中，|AD|＝|BC|，AD与BC平行且方向相同，所以AD＝BC，故③正确；

对于④，a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故④正确；

对于⑤，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故⑤不正确．

[答案]

③④

练习1．判断下列说法是否正确．

(1)若向量a＝AB，b＝BA，则|a|＝|b|；

(2)若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；

(3)若向量AB是单位向量，则BA也是单位向量；

(4)以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．

解：(1)正确，由于|a|＝|AB|＝|AB|，|b|＝|BA|＝|BA|＝|AB|，因此有|a|＝|b|. (2)不正确，由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，但是对方向没有任何要求，因此说法(2)不正确．

(3)正确，因为|AB|＝|BA|，所以当AB是单位向量时，BA也是单位向量．

(4)正确，由于向量|AP|＝1，所以点P是以点A为圆心的单位圆上的一点．反过来，若点P是以点A为圆心，1为半径的单位圆上的任一点，则由于|AP|＝1，所以向量AP是单位向量，因此说法(4)正确. 向量的表示方法

[例2]

已知汽车从A地按北偏东30°的方向行驶200 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向行驶200 km 到达C地，再从C地按西南方向行驶100 km到达D地，作出向量AB，BC，CD

(用1 cm表示100 km) [自主解答]

向量AB，BC，CD如图．

例2中汽车的实际位移可用图中的哪个向量表示？

解：实际位移即为向量AD. 练习

2．在如图所示的坐标纸(每个方格的边长均为1)中，用直尺和圆规画出下列向量．

(1)|

OA|＝3，点A在点O正西方向；

(2)|

OB|＝32，点B在点O北偏西45°方向；

(3)|

OC|＝2，点C在点O南偏东60°方向．

解：如图所示：

相等向量与共线向量

[例3]

如图，D、E、F分别是正三角形ABC各边的中点．

(1)写出图中所示向量中与向量DE长度相等的向量；

(2)写出图中所示向量中与向量FD相等的向量；

(3)分别写出图中所示向量中与向量DE、FD共线的向量．

[自主解答]

(1)与DE长度相等的向量是EF、FD、AF、FC、BD、DA、CE、EB. (2)与FD相等的向量是CE、EB.

(3)与DE共线的向量是AC、AF、FC；与FD共线的向量是CE、EB、CB. 1练习3．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设△3aABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则

3(1)与向量GH相等的向量是________；

(2)与向量GH共线，且模相等的向量是________；

(3)与向量EA共线，且模相等的向量是________．

解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等．

向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．

答案：(1)LB，HC

(2)

EC，LE，LB，GB，HC

(3)

EF，FB，HA，HK，KB

综合应用

在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务，它从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变方向，向西偏北50°航行了400 km到达C点，最后又改变方向，向东航行了200 km到达D点，此时，它完成了此片海区的巡逻任务．请你回答下列问题：

(1)作出向量AB，BC，CD；

(2)求|AD|. [巧思]

运用向量观点将实际问题抽象成数学模型．根据向量的关系确定|AD|. [妙解]

(1)作向量AB，BC，CD，如图．

(2)由题意，易知AB与CD方向相反，

所以AB与CD共线．

所以AB∥CD. 又因为|AB＝|CD|，

所以四边形ABCD为平行四边形．

所以|AD|＝|BC|＝400(km)．

课堂练习

1．有下列说法：

①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；

②若向量AB，CD满足|AB|>|CD|，且AB与CD同向，则AB>CD；

③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；

④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．

其中，正确说法的个数是(

) A．1

C．3

B．2 D．4 解析：对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；

对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；

对于③，由|a|＝|b|，只能说明a，b的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；

对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．

答案：A 2．若|AB|＝|AD|且BA＝CD，则四边形ABCD的形状为(

) A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．等腰梯形

解析：由BA＝CD知AB＝CD且AB∥CD即四边形ABCD为平行四边形．又|AB|＝|AD|知四边形为菱形．

答案：C 3．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则如图所示的向量中相等向量有(

) A．一组

C．三组

B．二组

D．四组

解析：由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，

即CE＝EA. 答案：A 4．已知非零向量a∥b，若非零向量c∥a，则c与b必定____________．

解析：平行向量主要考虑方向相同或相反，依题意可知，c，b同向或者反向，所以c与b必定平行(或共线)．

答案：平行(或共线) 5．当向量a与任一向量都平行时，向量a一定是________．

解析：由零向量的规定知，只有零向量与任一向量都平行．

答案：零向量

6．如图，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．

(1)写出与向量ED相等的向量；

(2)写出与向量ED共线的向量．

解：(1)∵四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形，

∴AB綊ED，AB綊DC. 从而AB＝ED，AB＝DC，∴ED＝DC. 故与向量ED相等的向量是AB，DC. (2)由共线向量的条件知，与ED共线的向量有DE，AB，BA，DC，CD，EC，CE.