小结教案1

第三节

用样本估计总体

考纲解读

1.利用样本的频率分布直方图的相关数据估计总体；2.利用样本的条形图、茎叶图的平均数、方差、标准差估计总体；3.通过样本绘制频率分布直方图、茎叶图，估计总体．

授课提示：对应学生用书第191页

[基础梳理] 1．常用统计图表

(1)频率分布表的画法：

极差第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；

组数第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；

第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．

(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图．

如图：

频率横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率．

组距(3)茎叶图的画法：

第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；

第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左(右)侧；

第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧．

2．样本的数字特征

(1)众数、中位数、平均数

数字特征

定义与求法

优点与缺点

通常用于描述变量的值出现次数最多的众数

一组数据中重复出现次数最多的数

数．但显然它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征

中位数

把一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)

如果有n个数据x1，x2，…，xn，那是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点

平均数和每一个数据有关，可以反映样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低

平均数

1么这n个数的平均数x＝(x1＋x2n＋…＋xn)

(2)标准差、方差

①标准差：表示样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，

s＝1[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2]. n②方差：标准差的平方s2叫作方差．

1s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是样本数据，n是n样本容量，x是样本平均数．

[三基自测] 1．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为(

) A．4

C．12

答案：B 2．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的方差为(

) A．1

C．3

答案：B 3．甲、乙两位射击运动员各射靶10次，每次命中的环数如下：

甲

7、8、7、9、5、4、9、10、7、4 乙

9、5、7、8、7、6、8、6、7、7 则甲的平均成绩为________，乙的平均成绩为________，________更稳定．

答案：7

7

乙

4．(必修3·习题2.2A组改编)某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中a的值为________．

B．2 D．4 B．8 D．16

答案：0.005

授课提示：对应学生用书第192页

考点一

简单统计图表的应用|思维突破

[例1]

(1)(2017·高考全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是(

) A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

(2)(2016·高考全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5

℃.下面叙述不正确的是(

)

A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上

B．七月的平均温差比一月的平均温差大

C．三月和十一月的平均最高气温基本相同

D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个

[解析]

(1)根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是减少，所以A错误．

(2)由题图可知，0℃在虚线圈内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；易知B，C正确；平均最高气温高于20℃的月份有3个，分别为六月、七月、八月，D错误．故选D. [答案]

(1)A

(2)D [思维升华]

根据统计图表(或图象)分析其意义时，

(1)明确图表(图象)中各数字的意义及作用．

(2)分析数字或图象的变化趋势对实际结果的影响．

(3)经常用到的图有扇形图、条形图、频率分布直方图、茎叶图、频数(频率)折线图、等势线图等．

[跟踪训练] 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为(

)

A．93

C．137

B．123 D．167 解析：由扇形统计图可得，该校女教师人数为110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选C. 答案：C

考点二

频率分布直方图及综合应用|方法突破

命题点1

涉及总体的频率、频数问题

[例2]

(1)(2018·山西四校联考)某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则

该班的学生人数是(

)

A．45

C．55

B．50 D．60 (2)为了解收购的每只小龙虾的重量(单位：克)，某批发商在刚从甲、乙两个水产养殖场收购的小龙虾中分别随机抽取了40只，得到小龙虾的重量的频数分布表如下．

从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频数分布表

重量/克

频数

[5,15)

2

[15,25)

8

[25,35)

16

[35,45)

10

[45,55] 4 从乙水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频数分布表

重量/克

频数

[5,15)

2

[15,25)

6

[25,35)

18

[35,45)

10

[45,55] 4 ①试根据上述表格中的数据，完成从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频率分布直方图；

②依据小龙虾的重量，将小龙虾划分为三个等级：

重量/克

等级

[5,25)

三级

[25,45)

二级

[45,55] 一级

若规定二级以上(包括二级)的小龙虾为优质小龙虾，估计甲、乙两个水产养殖场的小龙虾哪个的“优质率”高？并说明理由．

③从甲水产养殖场抽取的40只小龙虾中利用分层抽样的方法抽取8只，再从抽取的8只小龙虾中随机抽取2只，X表示抽取的2只小龙虾中重量在[25,55]内的小龙虾的数量，求X的分布列及期望E(X)．

[解析]

(1)∵[20,40)，[40,60)的频率和为(0.005＋0.01)×20＝0.3，

∴该班的学生人数是15＝50.选B. 0.3

(2)①

②若把频率看作相应的概率，则

16＋10＋4“甲水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为＝0.75，

4018＋10＋4“乙水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为＝0.8，

40所以乙水产养殖场的小龙虾“优质率”高.

③因为从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量在[5,25)，[25,55]内的小龙虾的数量比为1∶3，故抽取的8只小龙虾中，重量在[5,25)内的小龙虾有2只，重量在[25,55]内的小龙虾有6只，X的所有可能取值为0,1,2，

C212P(X＝0)＝2＝，

C8281C132C612P(X＝1)＝2＝＝，

C8287C2615P(X＝2)＝2＝. C828X的分布列为

X P 1315E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.5. 28728[答案]

(1)B 命题点2

涉及总体的数字特征

[例3]

我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

0

1

281

3

72 15

28

(1)求直方图中a的值．

(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由．

(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．

[解析]

(1)由概率统计相关知识，知各组频率之和的值为1.因为频率＝(频率/组距)×组距，所以0.5×(0.08＋0.16＋0.4＋0.52＋0.12＋0.08＋0.04＋2a)＝1，得a＝0.3. (2)由图可知，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数所占百分比为0.5×(0.12＋0.08＋0.04)＝12%，所以全市月均用水量不低于3吨的人数为：30×12%＝3.6(万)．

(3)由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：

0．5×(0.08＋0.16＋0.3＋0.4＋0.52)＝0.73，即73%的居民月均用水量小于2.5吨，同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故2.5

0.3[方法提升]

1．频率、频数、样本容量的计算方法

频率(1)×组距＝频率．

组距频数频数(2)＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数．

样本容量频率2．利用频率分布直方图估计样本的数字特征的思路

(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．

(2)平均数：平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．

(3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边中点的横坐标．

[跟踪训练] 某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图：

(1)求直方图中a的值；

(2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(200,12.22)，试计算数据落在(187.8,212.2)上的概率；

参考数据：

若Z～N(μ，δ2)，则P(μ－δ

P(μ－2δ205

品的平均成本．

解析：(1)由已知，得(0.002＋0.009＋0.022＋a＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝1，解得a＝0.033. (2)Z～N(200,12.22)，从而

P(187.8

组号

分组

频率

1

[66,70]

0.02

2

(70,74]

0.09

3

(74,78]

0.22

4

(78,82]

0.33

5

(82,92]

0.24

6

(92,100]

0.08

7 (100,108] 0.02 根据题意，生产该食品的平均成本为

70×0.02＋74×0.09＋78×0.22＋82×0.33＋92×0.24＋100×0.08＋108×0.02＝84.52.

考点三

茎叶图及应用|方法突破

[例4]

(1)某同学对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本中的中位数、众数、极差分别是(

)

A．46,45,56

C．47,45,56

B．46,45,53 D．45,47,53 (2)某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：

分数段(分)

频数

频率

[50,70)

a [70,90)

0.25 [90,110)

[110,130)

b

[130,150]

总计

①求表中a，b的值及成绩在[90,110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；

②若从茎叶图中成绩在[100,130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率．

45＋47[解析]

(1)样本中数据共30个，中位数为＝46；显然样本数据中出现次数最多2的为45，故众数为45；极差为68－12＝56.选A. (2)①由茎叶图知成绩在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，∴a＝0.1，b＝3. ∵成绩在[90,110)范围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4，

∴成绩在[90,110)范围内的样本数为20×0.4＝8，

估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为

p＝1－0.1－0.25＝0.65. ②一切可能的结果组成的基本事件空间为

Ω＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)}，共21个基本事件，

设事件A＝“取出的两个样本中数字之差小于或等于10”，

则A＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，10(106,116)，(116,118)，(118,128)}，共10个基本事件，∴P(A)＝. 21[答案]

(1)A [方法提升]

茎叶图的使用策略

(1)茎叶图的绘制需注意：

①“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；

②重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据．

(2)茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据，通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．

[跟踪训练] 甲、乙两人参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，画出茎叶图如图．

(1)指出学生乙成绩的中位数；

(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为应该派哪位学生参加？

83＋85解析：(1)依题意知，学生乙成绩的中位数为＝84. 2(2)派甲参加比较合适，理由如下：

1x甲＝(70×2＋80×4＋90×2＋9＋8＋8＋4＋2＋1＋5＋3)＝85，

81x乙＝(70×1＋80×4＋90×3＋5＋3＋5＋2＋5)＝85，

8222s2甲＝35.5，s乙＝41，∵x甲＝x乙，且s甲

∴甲的成绩比较稳定．

授课提示：对应学生用书第195页

1.[考点一](2015·高考全国卷Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是(

)

A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

解析：由柱形图可知：A、B、C均正确，2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势，所以排放量与年份负相关，∴D不正确．

答案：D 2.[考点三](2015·高考山东卷)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5 天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：

①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；

②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；

③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；

④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．

其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为(

) A．①③

C．②③

解析：由题中茎叶图，知x甲＝s甲＝B．①④

D．②④

26＋28＋29＋31＋31＝29，

51310[26－292＋28－292＋29－292＋31－292＋31－292]＝；

5528＋29＋30＋31＋32x乙＝＝30，

5s乙＝

＝2. 1[28－302＋29－302＋30－302＋31－302＋32－302] 5

所以x甲s乙，故选B. 答案：B

课时规范练

单独成册：对应学生用书第323页

A组

基础对点练

1．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有(

)

A．75辆

C．180辆

B．120辆

D．270辆

解析：由图可知组距为10，则车速在[40,50)，[50,60)的频率分别是0.25,0.35，因此车速低于限速的汽车共有(0.25＋0.35)×300＝180(辆)．

答案：C 2．为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是(

)

A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数估计值为26.25次

B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数估计值为27.5次

C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人

D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人

解析：由题图可知中位数是26.25次，众数是27.5次，1分钟仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.2，所以估计该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人；1分钟仰卧起坐的次数少于20次的频率为0.1，所以该校九年级学生1分钟仰卧起坐的

次数少于20次的人数约有160人．故D是错误的，选D. 答案：D 3.如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x，y的值分别为(

) A．2,4

C．5,6

B．4,4 D．6,4 75＋82＋84＋80＋x＋90＋93解析：x甲＝＝85，解得x＝6，由图可知y＝4.选D. 6答案：D 4．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为(

)

1

8

9 2

1

2

2

7

9 3

0

0

3 A.0.2

C．0.5

B．0.4 D．0.6 解析：由题意知，这10个数据落在区间[22,30)内的有22、22、27、29，共4个，所以4其频率为＝0.4，故选B. 10答案：B 5.(2018·合肥质检)一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图．已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学成绩的中位数为73，则x－y的值为(

) A．2

C．3

B．－2 D．－3 72＋77＋80＋x＋86＋90解析：由题意得＝81⇒x＝0，易知y＝3，

5∴x－y＝－3，故选D. 答案：D 6．(2018·淄博模拟)某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x，那么x的值为________．

18

0

1 17

1

2

x

4

5

解析：由题意可知，

1170＋×(1＋2＋x＋4＋5＋10＋11)＝175，

71即×(33＋x)＝5，即33＋x＝35，解得x＝2. 7答案：2 7．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于1其他10个小长方形的面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为________．

4解析：依题意，设中间小长方形的面积为x，则其余小长方形的面积和为4x，所以5x＝1，x＝0.2，中间一组的频数为160×0.2＝32. 答案：32 8．为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学生会从全体学生中随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每名学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如图．若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”．

(1)写出这组数据的众数和中位数；

(2)从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好视力”的概率；

(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X表示选到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望.

4.

3 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9 9 5.

0 1 1 2 解析：(1)由题意知众数为4.6和4.7，中位数为4.75. (2)记“至少有2人是‘好视力’”为事件A，则事件A包含的基本事件个数为C2C14·12＋3C4，总的基本事件个数为C316，故3C2C1194·12＋C4P(A)＝＝. 3C16140(3)X的所有可能取值为0,1,2,3. 13，. 由于该校人数很多，故X近似服从二项分布B43327132271P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝C××＝，

346444641239，P(X＝3)＝13＝1，

P(X＝2)＝C23×4×＝464464则X的分布列为

X P 0

27

641

27

642

9

643 1

6413故X的数学期望E(X)＝3×＝. 44