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平面向量

一、知识网络

平面向量

向量的定义

向量的线性运算

向量的坐标表示

向量的数量积

相等向量单位向量零向量

共线向量平行向量

加法，减法，数乘

向量平行

向量的模，夹角

向量垂直

二、方法与知识点

（一）向量的定义

1

下列关于向量的结论：

①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

②非零向量a与非零向量b平行，则a与b的方向必定相同或相反；

③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；

④若向量a与b同向且|a|＞|b|，则a＞b. 其中正确的序号为

2．有下列四个命题：

①互为相反向量的两个向量模相等；

②若向量AB与CD是共线的向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；

③若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b;

④若a≠b，则|a|≠|b|. 其中正确结论的是

3．下列说法中，不正确的是(

) A．向量AB的长度与向量BA的长度相等

B．任何一个非零向量都可以平行移动

C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量

D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同

4．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．

(1)与向量ED相等的向量为________；

(2)若AB3，则向量EC的模等于________．

（二）平面向量基本定理的应用

典型例题1：向量的线性运算

1．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,且ABa，ADb,用a、b表示MA，MB，MC，MD

2．在△ABC中，已知D是边BC上的点且CD＝2BD，设AB＝a，AC＝b，试用a和b表示AD.

3．如图，平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量AM＝__________. 4．如图，在△ABC中，点D在BC边上且CD＝2DB，点E在AD边上且AD＝3AE，则用向量AB，AC表示CE为(

) 典型例题2：向量的坐标表示及运算

题组一：向量的坐标运算

1．

已知a(2,1)，b(3,4)，求ab，ab，3a4b

2．已知a＝(5,4)，b＝(－2，－1)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，则c等于

3．已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求AB，AC，AB＋AC，ABAC. 2AB1AC

24．.若向量AB＝(1,2)且A点坐标为(2,3)，则B点坐标为

题组二：向量平行的坐标表示

1．已知平行四边形ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、

（3，4），试求顶点D的坐标。

2．设向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，若向量a与b同向，则x＝

3．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,4)且a∥b，则实数x的值为

4．已知向量a＝(4，－1)，b＝(2，m)，且a∥(a＋b)，则m＝

5．已知向量a＝(1,2)，b＝(0，－2)，c＝(－1，λ)，若(2a－b)//c，则实数λ＝

6．已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥AB，则实数λ的值为

题组三：等比分点

1．已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，判断A、B、C三点的位置关系。

2．已知点O(0,0)，向量OA(2,3)，OB(6,3),点P是线段AB的三等分点，求点P的坐标

3．已知点A(2,3),B(4,3),点P在线段AB的延长线上，且AP3PB求点P的坐标

2

（三）向量的数量积

题组一：求向量的数量积

1．

已知a5,b4，a与b的夹角120，求ab

2．

已知a6,b4，a与b的夹角60，求a2ba3b

题组二：向量的模及夹角

1．

已知a3,b4，a与b的夹角150，求ab，ab，ab

2．

已知a2,b5，ab3，求ab，ab

3．

已知a12,b9，ab542，求a与b的夹角

4．

已知a4,b3，2a2b2ab61，求a与b的夹角

5．

已知a8,b10，ab16，求a与b的夹角

6．

已知a5,b4，a与b的夹角120，求ab与ab的夹角

题组三：向量的数量积与几何图形

1．

已知ABC中，a5,b8,C60，求BCCA

→→→→→→2．在△ABC中，AB·BC＝0，|AB|＝2，|BC|＝23，D为AC的中点，则BD·DA＝

→→3．在△ABC中，AB＝4，AC＝26，AB·BC＝2，则BC＝________. 4．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则ADAC的值等于

题组四：向量的垂直

1．已知a3,b4，且a与b不共线，k为何值时，向量akb与akb互相垂直？

2．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为120°，若(a＋mb)⊥a，则实数m的值为

3．已知A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)是判断ABC的形状，并给出证明

4．求证：A(1,0)，B(5,2)，C(8,4)，D(4,6)为顶点的四边形是矩形

题组五：向量数量积的坐标表示

1．

已知a3,4，b5,2,求a，b，ab

2．

已知a2,3，b2,4，c1,2，求ab，abab，a(bc，ab

3．

已知a5,7，b6,4,求ab，a与b的夹角

22

4．

已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为

（四）平面向量在几何中的应用

1．证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和

DMABCDPCF

2.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接DP、EF，求证DP

⊥EF。

BAE

3．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD 、

DC边的中点，BE 、

BF分别与AC交于R 、

T两点，你能发现AR 、

RT 、TC之间的关系吗？

→1→→→1→4．如图，在△ABC中，已知AN＝AC，P是BN上一点，若AP＝mAB＋AC，24则实数m的值是________．

5．如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB1→→→＝OB，DC与OA交于E，设OAa，OBb，用a,b表示向量OC，DC，DE.

3

6．在△OAB中，D，E，F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设ABa，ACb

（1）证明A、O、E三点在同一直线上，且（2）用a,b表示向量AO

AOBOCO2

OEOFOD