2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示公开课教案（教学设计）

2.3.2平面向量的坐标运算

一、课题：

2.3.2平面向量的坐标运算

二、教学目标：1．掌握两向量平行时坐标表示的充要条件；

2．能利用两向量平行的坐标表示解决有关综合问题。

三、教学重、难点：1．向量平行的充要条件的坐标表示；

2．应用向量平行的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题。

四、教学过程：

（一）复习：

1．已知a(3,2)，b(0,1)，求2a4b，4a3b的坐标；

2．已知点A(1,1)，B(1,5)及AC

坐标。

归纳：（1）设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB(x2x1,y2y1)；

（2）a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，

11AB，AD2AB，AEAB，求点C、D、E的

22ab(x1x2,y1y2)，a(x1,y1)；

3．向量a与非零向量b平行的充要条件是：ab(R,b0). （二）新课讲解：

1．向量平行的坐标表示：

设a(x1,y1)，b(x2,y2)，（b0），且a//b，

则ab(R,b0)，∴(x1,y1)(x2,y2)(x2,y2). x1x2∴，∴x1y2x2y10. y1y2归纳：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：

①a//b(b0)ab(R,b0)；

②a//b(b0)且设a(x1,y1)，b(x2,y2)x1y2x2y10（x1,x2,y1,y2R）

例1 已知a(4,2)，b(6,y)，且a//b，求y．

解：∵a//b，∴4y260．∴y3．

例2 已知A(1,1)，B(1,3)，C(2,5)，求证A、B、C三点共线．

证明：AB(1(1),3(1))(2,4)，AC(2(1),5(1))(3,6)，

又26340，∴AB//AC.∵直线AB、直线AC有公共点A，

∴A，B，C三点共线。

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例3 已知a(2,3)，b(1,2)，若kab与akb平行，求k．

解：kab=k(2,3)(1,2)(2k1,3k2)

akb(2,3)k(1,2)(2k,32k)

∴(2k1)(32k)(3k2)(2k)0，

∴7k27，∴k1. 例4 已知a(2,4)，b(1,3)，c(6,5)，pa2bc，则以a，b为基底，求p. 解：令cab，则(6,5)(2,4)(1,3). 26，

(6,5)(2,43)，

∴435232321∴2，

∴pa2ba17ba15b. 2217

例5 已知点A(1,1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量AB与CD平行吗？直线AB平

行与直线CD吗？

解：∵AB(1(1),3(1))(2,4)，CD(21,75)=(1,2)，

又22140，

∴AB//CD；

又AC(1(1),5(1))(2,6)，AB(2,4)，24260，

∴AC与AB不平行，

∴A、B、C不共线，AB与CD不重合，

所以，直线AB与CD平行。

五、小结：1．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；

2．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；

3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同。

六、作业：

M3CA，CN2CB，求点M，

补充：1．已知A(2,4)，B(3,1)，C(3,4)，且CN的坐标及向量MN的坐标；

2．已知a(10,4)，b(3,1)，c(2,3)，试用b，c表示a；

313．设a(,sin)，b(cos,)，(0,2)，且a//b，求角．

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