阅读与思考 割圆术名师课堂实录

基本信息

姓

名

学

科

年

级

余建暑

数学

高一

学

校

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教科书版本及章节

合肥市第六中学

15395013542 451397049@qq.com 人教版高中数学必修三

第一章

阅读与思考

学习领域/模块

阅读与思考

割圆术

单元教学设计

单元学习主题

1.

单元教学设计说明

算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。在本模块中，学生将在中学教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。

2.

单元学习目标与重点难点

本单元的学习目标主要是理解算法含义，体会算法思想并学会运用算法思想解决具体的实际问题。

理解算法含义是本单元学习的重点之一，尤其是要学会读懂算法，其中也涉及到对于程序框图的理解，三种基本逻辑结构始终贯穿于算法教学之中，是学生进行算法学习的重点。而循环结构一直是学生学习的难点所在，另外，算法设计也是本单元学习的难点之一。

3.

单元整体教学思路

本单元教学采用启发式教学，辅以观察法、发现法、练习法、讲解法。采用这些方法的原因是学生的逻辑能力不是很强，只能通过对实例的认真领会及一定的练习才能掌握本节知识。

本单元的学习主题为“算法初步”

课时教学设计

课题

课型

阅读与思考

割圆术

新授课☑

章/单元复习课□

专题复习课□

习题/试卷讲评课□

学科实践活动课□

其他□

1.教学内容分析

用割圆术求圆周率是人教版高中数学必修3第一章算法初步这一章节结束之后设置在阅读与思考部分的拓展性内容，是对本章学习的一个具体应用。割圆术是中国古代数学家刘徽创造的计算圆周率的方法，是当时计算圆周率比较先进的算法，体现了“以直代曲”、“无限逼近”、“内外夹逼”的数学思想，至今仍具有一定的应用价值，这种算法在一定程度上也是对微积分的初步体现，在其他领域也有着广泛的应用。割圆术的算法具有很强的可操作性，也可以简单直观地翻译成计算机语言，体现出算法的特征。同时，关于圆周率的计算还有很多有趣的故事和实例，从这些经典算法中可以激发出学生的民族自豪感和爱国情怀，培养了学生求真务实的科学探索精神和创造精神，体现出“立德树人”的教育意义。

2.学习者分析

这一课题的学习是建立在学生已经对算法的含义有一定了解的基础之上进行的，同时学生在必修五已经对数列的递推公式进行了深入学习，因此，理解“割圆术”的算法步骤对于学生来说并不困难，但是在计算圆面积的过程之中，对于较复杂的递推公式运算学生操作起来或许会有些吃力，在这一部分的探究教学过程中应适当放慢节奏，给予学生更多操作时间。同时，根据割圆术的步骤设计出割圆术的程序框图也是本节教学的另一难点，尤其是循环结构的程序框图对学生来说难度较大，因此对于这一部分内容应用教师引导与小组探究相结合的方式来突破这一难点。

3.学习目标确定

（1）体会并理解割圆术的具体操作步骤；

（2）根据割圆术的算法步骤能够设计出对应的程序框图；

（3）体会“以直代曲”、“无限逼近”、“内外夹逼”的数学思想以及由特殊到一般的逻辑推理过程。

4.学习重点难点

重点：割圆术的数学思想方法和算法的应用

难点：程序框图的设计

5.学习评价设计

首先，看学生课堂互动的积极性和学习状态，评价标准为学生能否流畅回答出设计好的问题以及正确计算出关于圆内接正多边形的面积；其次，看学生的思维发展，评价标准为学生能够自主发现割圆术中相关量的递推公式；再次看学生对于其中数学思想方法的理解，能否真正理解其中的数学思想以及算法应用。最后从作业的质量可以看出学生对这种算法的掌握程度。

6.学习活动设计

教师活动

环节一：观看电影片段，导入新课

教师活动1 放映片段《少年派的奇幻漂流》，率π，提出问题：圆周率的数值是如

何计算出来的？从而引出本节课学习的课题——割圆术。

活动意图说明：

用轻松有趣的手段引入本节课题，回顾旧知识，从旧知识中提出新问题，激发学生探究兴趣，自然引出课题。

环节二：了解方法

感悟思想

教师活动2 1.回顾圆周率π的定义，令半径r=1，则圆周率与圆有何关系？

计圆的面积，不断增加内接正多边形面积有何关系，归纳其中的数学思想方法。

活动意图说明：

在师生交流中，提出以直代曲、无限逼近的数学思想，让学生感悟割圆术中的数学思想，激发学生探究的兴趣，培养学生的数学素养。

环节三：自主计算

合作探究

教的活动3 1.令半径r=1，从圆的内接正六边形出发进行分析，给出图示。提问：如何计算圆的内接正六边形面积？（板书）

2.作出相关辅助线，提出弦心距和余

2.理解弦心距和余径的概念。

学的活动3 1.自主思考，计算圆的内接正六边形面积。

学生活动2 1.通过视频片段回忆圆周率的定义等于圆的周长与直径的比值，也可以等于面积与半径2.观察随着边数n的不断增加，内接正多边学生活动1

同学们观看电影片段，发现其中的数学学生活动

提出学生已熟知的数学概念——圆周概念，并思考圆周率π的定义。

2.用圆的内接正多边形面积近似估平方的比值。

的边数，引导学生观察其面积与圆的形面积与圆面积的关系。

径的概念。

3.加倍多边形边数，给出图示，重点强调作出正十二边形的过程，从而引导学生观察内接正十

3.观察正十二边形与正六边形的关系，尝试写出它们的递推公式。

二边形与内接正六边形的关系，提问：

如何计算圆的内接正十二边形面积？

（板书）

4.继续加倍多边形边数，重复操作，与学生一起推导出内接正二十四边形的面积递推式。（板书）

内接正四十八边形的递推公式。

4.结合图示，小组合作交流讨论，仿照之前的方法，得出正二十四边形与正十二边形的关系，与全班进行分享。

5.尝试直接写出圆的内接正四十八边形的递6.通过对割圆术步骤的理解，小组合作交流，5.引导学生发现规律，直接写出圆的推公式。

6.总结归纳，从上述规律中对割圆术尝试画出循环体部分的程序框图，进行小组展的算法进行分析，对其中的变量加以示。

梳理，重点强调循环体的结构，引导学生尝试画出循环体的程序框图。

算机对算法进行完整呈现。

活动意图说明：

学生在教师的引导下，通过计算圆内接正六边形、正十二边形、正二十四边形、正四十八边形的面积，由特殊到一般归纳总结出一般规律，体会“割圆术”的算法，为后面设计割圆术的程序框图做好充分的铺垫。在学生已经学会并理解了“割圆术”算法的基础上，利用所学过的算法初步知识将这一数学计算过程最终转化为程序框图是本节课的难点，为了突破这一难点，最初先让学生尝试画出循环体的程序框图，后面再陆续将程序框图进行补充完善，层层递进，学生易于接受。同时，通过小组合作探究的方式培养了学生团队合作的意识和科学探究的精神，有利于提升课堂效率。

环节四：补充完善

回顾小结

教师活动4 学生活动4

7.与教师一起对程序框图进行补充和完善，7.对程序框图进行补充和完善。用计思考设计该算法程序框图的全过程和思路。

1.上述过程是由内向外通过内接正多边形的面积逼近圆的面积，即内接正多边形的面积始终小于圆的面积，从而计算出圆周率π的近似值。另一方面，这些内接多边形每边外都有一余径，如果以各边边长为长，余径为宽向外做若干个矩形，加到原来的正多边形面积上，则大于圆的面积。在已知圆内接正多边形面积的基础上，我1.体会并理解由外向内逼近圆的面积的过程，课下进行思考。

在圆内接正六边形的基础上加上六个矩形得到的面积就是：

S66*

SPCDQS66*2*SPBQS62*S12S6因为计算机计算加法的运算速度更快，所以可以将它改写成

S12S12S6同样的，在圆内接正12边形的基础上加上12个矩形就是S24S24S12。

以此类推，我们可以得到一列递减数：

也就实现了从外向内逼近。这样一来，S12(S12S6)，……，S2nS2nSnS2nSS2nS2nSn从而利用内外夹逼的理论上来说可以把算到任们来看一下如何设计一个递减数列思想得到圆周率，由外到内无限逼近Π，使得我们的算意精度。

法更加严谨。

2.回顾总结本节课的内容。

2.对本节课的内容进行小结。

活动意图说明：

向学生简要介绍割圆术中“内外夹逼”的思想，完善方法，提升学生思维的严谨性。最后，从知识、方法、思想等方面对本节课内容进行总结，巩固学生本节课所学的内容。

7.

板书设计

割圆术

一、过程 二、算法 三、小结

1.思想：以直代曲

无限逼近

内外夹逼

2.

算法分析

8.作业与拓展学习设计

1.根据研究圆周率过程中的收获与体会，撰写一篇数学小论文。

2.探究：刘徽的割圆术是从圆的内接正六边形面积开始计算的，如果以圆内接正四边形面积为起始可以吗？试借助Excel工具说明。

9.

特色学习资源分析、技术手段应用说明

本课教学有两个特色：一是翻转课堂，给予学生更多自主探究的时间和思维；二是灵活运用智慧课堂和多媒体教学手段，数形结合，使得理解上更加形象直观。

10.教学反思与改进

由于课前的教学准备比较充分，因此整节课的节奏是比较流畅的，学生的配合度也较高，将信息技术与课程内容进行有机结合，通过揭示递推公式与迭代算法之间的关系，用程序框图表示算法，最终借助计算机中的excel软件实现算法，完成对圆周率π近似值的初步估计，既验证了运用割圆术求解π的近似值的可行性与有效性，又体现了中国古代数学的算法特征。

对于本节课的设计，仍有以下几点值得改进：

1.应提前布置课前阅读和资料查阅的任务。通过“阅读”带动“思考”，再经过“思考”加深“阅读”所获得的知识的理解，既给学生创设了自主探究、小组合作交流等平台，又充分挖掘了思维的深度和广度。同时，学生也能更好地跟上教学节奏，获得自己的理解和体会。

2.数学素养和情感价值观没有充分融入课堂教学之中。本节课涉及到数学中的重要概念——圆周率。圆周率的数学研究历史源远流长，更是中国古代数学的亮点之一，更加需要在教学过程中融入这一方面的内容，做到数学中有历史，历史中有数学，有利于提高学生的综合素质，也能够培养学生的民族自豪感和爱国情怀。