2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示课件配套优秀教案案例

平面向量的正交分解及坐标表示教学设计

授课人：荆椿婷

授课班级：高一430 一、教学设计说明

1.注意法则的由来和提炼：本节课的核心知识是“平面向量正交分解条件下坐标表示”.教材中对本节内容的介绍不多，但内容丰富，承前启后，不能简单地告诉学生定义、结论，通过问题的设置来引导学生操作、思考、讨论交流，推进教学的进程。

2.明确“为什么教”：引入向量的坐标表示，从而将向量的“代数化”，进而从代数的角度理解向量的运算，所以本节课的设计，力图呈现平面向量坐标表示的发生、发展过程。

3.给学生自主学习的空间与时间；在学生的“最近发展区内”设置有思考价值的问题，形成学生认知上的冲突，才是给学生提供学习的空间；在对学生设置好探究问题后，要舍得给学生独立思考，与同伴交流的时间。

二、教学分析

教学内容分析

本课时的主要内容为“向量的正交分解及坐标表示”，平面向量基本定理实际上是建立向量坐标的基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。

学情分析

平面向量坐标表示法则由来与提炼是学生理解的瓶颈，很多学生也能够依据法则准确地写出向量坐标，但对于为什么可以这样做并不理解，尤其是对向量与坐标之间可以形成一一对应的关系难以理解.教学中，采用由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想.在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解.

三、教学目标

1.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义

2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系

3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。

四、教学过程

教学活动

复***面向量基本定理的内容：

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于平面内的任意向量a，有且仅有一对实数1、2，使

活动形式与活动目标

设计意图

形式：师生共同复***面向量基本定理的内容.

平面向量基本定理是将向量坐标化的理论基础，通过课前对定理内容的回忆，再次唤醒学生对定理内容的深刻理解，从而为本节课向量的正交分解及坐标表示的探究打下基础. 复习a1e12e2.我们把不共线的e1、引入e2叫做表示这一平面内所有向量的一目标：通过复***面向量基本定理的内容，并明确向量基创组基底. 底的不唯一性，为本节课向量的设师：基底唯一吗？

正交分解及坐标表示的理解建立情不唯一.只要是平面中不共线的两个基础. 境生：向量都可以作为一组基底. 平面向量基本定理是我们将向量坐标化的理论基础，本节课我们主要探究三个问题：（1）平面向量的夹角；（2）平面向量的正交分解及坐标表示；（3）平面向量的坐标运算.

探究一：平面向量的夹角

师：下面我们来探究第一个内容：平面向量的夹角。首先，我们先给出平面向量夹角的定义（强调同起点），结合定义，你认为向量夹角的取值范围应如何约定为宜？

生：0

师：那么在这个范围之下有几个比较特殊的位置状态，分别是0，，新课学习探索链为主线，引导学生对向量夹角，下面我们具体来探究一下. 发定义的充分辨识. 2现（师生共同分析上述三种情况向量所

向量夹角的定义中“共起点”是学生在解题中易出错的问题，通过思考1的设计首先让对应的位置关系）

学生了解向量夹角的定

义是什么，让学生先有

主观意识，再通过思考

2的探究让学生能够准

确快速的找到向量的夹

目标：通过思考1,2的探究与发角，以便将主观认识转现，要求学生能够根据题目中的化为实际操作，同时再

已知条件准确快速地找见两向量次深化对“共起点”的师：结合向量夹角的定义，回答思考2：的夹角. 理解. 在ABC中，AB和BC夹角为哪一个角?（留思考时间) 学生的回答会有两种，一种是ABC,一种是ABC的补角.（学生分别进行阐述，共同辨析）

师：（总结）向量夹角的寻找要确保两向量是共起点的状态.

探究二：平面向量的正交分解及坐标表示

形式：采用启发式教学，以问题

师：接下来，我们开始本节课的第二个

内容：平面向量的正交分解及坐标表示

思考3：把一个向量分解为两个互相垂

直的向量，叫做把向量

.如图，

以思考3为基石，引导学生可以将向量正交分解为互相垂直的两个单位向量上，为后面在直角坐标系中研究向量做一个铺垫.

规则与思考4以教师引导为主，明确给出向量的坐标该如何写出，让学生明白“为什么”，并熟练掌握“怎么做”.

向量i，j是两个互相垂直的单位向量，学生可自行解决或与同桌、小组向量i与j的夹角是30°，且|a|=4，以进行讨论

向量i，j为基底，向量a如何表示？

（留时间学生思考）

形式：思考3以自主探究为主，

目标：依据平面向量基本定理使学生能够准确地将向量分解到互相垂直的两个单位向量上.

师：通过思考3我们可以发现，如果选

取互相垂直的单位向量作为基底，，便

可以将向量放入到平面直角坐标系中

研究，而在直角坐标系中，点可以用有

序数对表示，那么，向量在直角坐标中

又该如何表示？

给出规则：在平面直角坐标系中，分别

选取与

x

轴、

y

轴方向相同的两个

_______作为基底，对于平面内的任一

向量

a，由平面向量基本定理可知，

有且只有一对实数

x

、

y

，使得______________，实数对（x，y）叫做

形式:教师引导学生理解向量坐向量a的坐标这样，平面内的任一向量

标书写规则，并对向量与坐标之a都可由__________唯一确定，我们把间一一对应的关系做出合理解释有序数对________叫做向量的坐标，记与说明. 作___________，此式叫做向量的坐标

表示。

思考4：在直角坐标系中，以原点O为

起点作OAa,则A点坐标与a的坐标有什么关系？

目标：通过规则理解以及思考4的探究，使学生能够准确的写出向量在直角坐标系中的坐标，并理解这样做的原理.

备注：规则中应强调：

axiyja(x,y)aOA,A(x,y)

b(x2,y2)相等等价于

练习：如图，分别用基底i，j表示向

量a，b，c，d，并求出它们的坐标.

思考5：向量a(x1,y1)与向量

形式：自主探究、小组合作

目标：通过练习使学生准确快速写出向量的坐标，并能够通过观察向量的几何位置快速写出相关坐标. 练习的设计是对本环节知识的实际操练，检验学生对于向量坐标的书写是否真正掌握，另外也引导学生从几何图形的角度写向量坐标，以形助数，以数辅形，培养学生数形结合的数学思想.

（练习通过两个角度分析：（1）代数角度（2）几何图形对称角度）

探究三：平面向量的坐标运算

师：引入向量的坐标运算之后便可将的向量的运算完全代数化，更加方便对向量的研究.

思考5：已知a(x1,y1)，b(x2,y2)，

你能得出

a+b，a-b，

a的坐标

吗？

思考6：已知A(x1,y1) ,B(x1,y1) ,则

形式:启发式教学、自主探究.教AB的坐标是什么？

师以

a+b为例证明，然后学生模仿写出a-b，

a的坐标.

向量的坐标化即向量的代数化，有了向量的坐标之后，对于向量的研究会更加方便，通过思考5，思考6的探究，使学生体会向量坐标的简便性，感知向量坐标功能的强大.

目标：能够所给条件准确写出向量的坐标.

练习1：已知a(2,1)，b(3,4)，

求a+b，a-b，3a+4b的坐标.

练习2：已知A、B两点的坐标，求AB、

BA.（1）A(3,5)

B(6,9)

(2)A(-3,4)

B(6,3)

例：已知□ABCD

的三个顶点A、B、C 的坐标分别是（-2,1）、（-1,3）、（3,4），试求顶点

D

的坐标. 延伸：若不考虑A、B、C、D四点的坐标，试求定点D的坐标. 课堂练习巩固新知

形式：自主探究、小组合作

通过例1的分析讲解，使学生灵活运用向量坐标解决向量问题，体会向量坐标处理问题的简便性，另外对于本题以小组合作的形式，让学生讲不同的思路方法汇总，激发不同的火花，从而充分调动的学生的积极性.

目标：以小组合作的形式对不同的方法进行辨析汇总，充分发挥学生的主观能动性.

本节知识结构：

课堂总结凝练提升1.平面向量的夹角

2.平面向量的正交分解及坐标表示

3.平面向量的坐标运算

（1）加、减法的坐标运算

（2）数乘运算的坐标运算

（3）向量平行的坐标表示

必要的课堂小结能形式：师生共同总结

够使学生对知识形成完

目标：使学生对本节知识内容有整的认识，对一节课的一个整体认识，从而形成知识网络

知识、思想、方法进行总结，使学生在凝练中得到提升.

布置作业学以致用

编号4-28作业单

五、板书设计

探究一

平面向量的夹角

例1：............. ................ ................

................

探究二

平面向量的正交分解及坐标表示

................ ................

探究三

平面向量的坐标运算

................ ................ 六、教学反思

本节课的教学目标基本实现，但是对于概念的认识和理解以及法则的由来学生的理解依然欠火候，虽然对于本节课的知识，如果学生记住向量坐标表示的结论，学生也能解决一系列的问题，但是，教学重心还是应放在学生对向量坐标表示的意义理解上.避免过于注重解题的方法与技巧.另外，对于本节课为什么教、为什么学、怎么学没有过多地呈现，在教学中应关注由来及方法的整理与指导.