复习参考题课堂实录

第二章平面向量的复习的第复第

熙

品面第二章应用平面向量数量积的性质解题（第二课时）

教学设计

一、教学内容解析

本节课的内容选自人教A版必修4平面向量数量积的坐标运算及其数量积的性质,在学***面向量基本定理及其坐标表示的基础上，进一步研究利用构造向量法在解题时的应用。

向量是一个数学模型，又是一个数学工具。作为数学模型，它需要从不同的角度（几何或代数）建构或完善自己身的数学体系；作为数学工具，它是一种方法，用以解决几何（平面几何，立体几何，解析几何）、代数、三角、物理等方面的问题。

向量是既有大小又有方向的量，向量是数形结合的体现。但是前面所研究的向量加法、减法、数乘等运算中，都是从“形”的角度展开，很多问题需要借助平面图形的几何性质才能解决，这给向量的深入研究带来了很多困难，有必要从“数”的方向进行研究，而向量的坐标表示正是适逢其时，使得形与数二者相互结合、互为补充，开辟了向量运算的新天地。

平面向量的坐标运算及其共线向量的坐标表示是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的。向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。引入

- 1 -

坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。

二、教学目标设置

1.知识与技能

（1）掌握向量数量积的性质

（2）构造向量法

2.过程与方法

（1）熟悉向量数量积性质及其运算律

（2）能根据向量数量积的性质特点构造向量

（3）熟知向量求解的坐标化思路

3.情感，态度与价值观

（1）认识事物之间的内在联系

（2）认识向量的工具作用，加强数学在实际生活中的应用意识。

4.

教学重点

（1）向量数量积性质的应用

（2）构造向量法的作用

5.

教学难点

（1）构造“向量法”适用题型特点的把握。

三、教学方法

启发引导式

针对向量坐标表示的应用，通过构造“向量法”与坐标在解法的比较来加深学生对于向量坐标的认识，同时要加强学生选择建立坐标

- 2 -

系的意识。

对于“构建向量法”的应用，本节例题选择了本章的重点内容数量积的坐标表示，目的要使学生坐标表示数量积性质的形式特点，同时增强学生的解题技巧，提高解题能力。

四、教具准备；投影仪，幻灯片

第一张，数量积的性质已知非零向量a(x1,y1),b(x2,y2)

1.abx1x2y1y2

2.ax12x22，

3.a//bx1y2x2y10

4.cosθ=x1x2y1y2x1y122x2y222

5.ababab

第二张，本节举例

五、学生的学情分析

本节课是在学习了向量的概念和表示、向量的线性运算以及平面向量基本定理和向量的数量积后，开始研究平面向量数量积的性质。把实数的不等关系转化为向量的代数运算，这对学生来说学习并不困难，可以大胆让学生自己探究。教师在引导学生探究时始终抓住向量具有几何与代数的双重特征这一属性和向量具有数与形结合的这一特点，利用已有的知识，进一步熟悉向量的数量积的性质，能体会向量代数化的重要作用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力。

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六、教学策略分析

教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。

针对本节课的教学目标和学生的实际情况，在教学中采用“问题教学法和引探式教学法”的教学方法。应用多媒体课件辅助教学。

七、教学过程设计

（一）复习回顾

1：复习提问

上一节我们一起复习了本章的基本概念，性质，运算律及重要定理，公式。这一节课我们将通过例题分析重点学习构造向量法在解题当中的应用

【设计意图】

以提问的方式完成对旧知识的复习巩固，为本节课探究新知打下坚实的基础。

（二）情境引入（提出问题，激发学生学习兴趣）熟悉以上性质后，这一节我们将通过例题重点学习构造“向量法”在解题当中的应用。（板书课题）

（三）探索研究（教师当导演，学生做主演，教师积极启发学生思考）

例一．

利用向量知识证明

对于任意的a,b,c,dR,恒有不等式acbda2b2c2d2成立

证明

设m(a,b),n(c,d),，则ma2b2,nc2d2

mnacbd

- 4 - 

由

mnmn化简并整理

得，ac+bd≤a2b2c2d2

[设计意图]总结知识点，加深理解，突破重难点。通过问题的形式调动学生积极思考、主动探索、归纳总结.

【分析】此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标产生联系，但需构造向量。

【评价】以上论证的难点在于构造向量，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论，这一技巧应要求学生注意体会。

例2.利用向量证明下列等式

X²+y²≥2xy 证明：

设m(x,y),n(y,x)，则 mx2y2,ny2x2，mn2xy

由

mnmn得，

化简并整理得

X²+y²≥2xy [设计意图]

明确向量的数量积的实质．设计的问题是学生利用向量已有的知识可以解决的，这样激发了学生学习数学的兴趣，有意识地培养学生分析理解问题的能力。

【分析】：以上结论是大家熟悉的重要不等式，以前利用求差法证明，而现在利用向量知识求证，则需要构造向量，故形式上与向量的数量积产生联系。

- 5 - 



【评价】：上述结论表明，重要不等式a²+b²≥2ab，无论对于实数还是向量都成立。

例2.

设x0,y0,xy1,若xy≤a恒成立的a的最小值是（ ）

2

B.2

C.2

D.22

2解

：设m(x,y),n(1,1)则mxy,n2，mnxy

由

mnmn

化简并整理得

xy2

由a≥xy必须满足a不小于

（xy）的最大值，而（xy）的最大值为2，故a的最小值为2

[设计意图]总结知识点，加深理解，突破重难点。通过问题的形式调动学生积极思考、主动探索、归纳总结；从而得到构造“向量法”求函数的最大值的结论；同时增加学生在学习中的获取知识的快乐。

【分析】由a≥xy必须满足a不小于

（xy）的最大值，而（xy）的最大值为2，故a的最小值为2

【评价】引导学生利用构造向量法完成例3的解答后，通过变式训练使知识的系统化。完善了认知结构；引导学生从不同的问题中领悟新旧知识的本质属性，体现了问题变换的思想。

（四）新知巩固

（应用探究结论，解决问题，训练思维

练习 1.已知m2n21,a2b22,则mabn的最大值（ ）

- 6 -

3222sab2（m，n）证明

设sa，b，t则，，tm2n2=1，A.1

B.

C.2

D.以上都不对

stambn，由mnmn得am+bn≤ 2 ，所以mabn的最大值为2

2.

设xy>0,则()()的最小值为（

A.

-9

B。

9

C。

10

D。

0 （，y）则，s解：设s，tx，xy21x24y2，ty221x2=1，4st123，由st≤st得3≤ x221yxy2 ，给两端平方得9≤()(，所以()()的最小值为9 八、课堂小结

【设计意图】小节是一堂课内容的概括和总结，是必不可少的一个环节，有利于使学生把握本节所学的重要内容，让学生总结，是检查学生的收获情况，是更进一步培养学生的归纳总结能力。

通过本节学习，要求大家进一步注意向量性质及运算律，熟悉数量积的性质在解题中的应用，能够掌握向量坐标化的思路求解问题，掌握构造向量并利用向量性质解题.证题的方法。

九、课后作业

- 7 -

1.利用向量知识证明

对于任意的a,b,c,dR,恒有不等式acbd2a2b2c2d2成立

（c，d）则，sa2b2，tc2d2，证明:设sa，b，tstacbd，由st≤st得acbd≤a2b2c2d2,根据不等式的性质，两端一平方的acbd2a2b2c2d2 所以对于任意的a,b,c,dR,恒有不等式acbd2a2b2c2d2成立

2.已知a,bR,m,nR，m2n2a2m2b2n2，令Mm2n2，Nab，则M与N的关系是（ ）

（A）M>N （B）M

3.已知a1b2b1a21，求证

a2b21

【设计意图】巩固基础知识，设置分层作业，满足每一位学生，增强学生学习数学的愿望和信心。

十、教学反思

本节课的教学效果从整体上看是非常顺利的，学生的自主探究和思维活动都一步步得到实施，并且真正做到了让每一位学生都参与到课堂教学活动中，体现了以人为本。学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究，手动实践，合作交流，阅读自学等学习方式。

本节课设计时较大的困难是借助于向量数量积的性质，构造“向量法”的教学，如果让学生死记硬背，学生只能表面接受，但不能真正理解。处理时要让学生自主探究，这样体现了利用旧知识解决新问

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题的研究数学的方法，符合学生的认知规律，学生易于理解接受。不仅给学生提供了更多自主探究的空间，更体现了学生的主体地位。学案使用也达到了预期的效果，通过例题及变式训练的解决说明学生对平面向量数量积性质的理解比较深入，透彻。

但也有遗憾，在处理例3时，还有一种方法就是借助三角函数，采用换元法求解，可能有的同学想到，但没有留给学生去思考，有点赶时间。在课堂教学过程中，不仅让学生学会知识，而且让学生掌握研究问题的思想和方法，从而培养学生科学的分析问题、解决问题的能力。

板书

平面向量的复习

平面向量数量积的性质的应用

一。复习回顾

二。例题

例一

例二

例三

三．课堂练习

四．小结

五。课后作业

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