探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学实录与评析

单位圆在三角函数中的应用教学设计

河北郑口中学 苏月英

【学习目标】

（1）能够理解借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。

（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。

【教学重点】探求和引导学生推出。

【教学难点】对角的任意性的理解。、2的诱导公式。其他几组诱导公式在归纳两类变换的基础教师2与角终边位置的几何关系。以及发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“路线图”。

教学设计说明：

本节课的设计基于从这个角度来理解三角函数诱导公式“诱导公式本质上是圆的旋转对称性和轴对称性的解析表述，也就是说，它是三角函数的一条性质---对称性，其几何背景是圆的旋转对称性。”引导学生在单位圆的定义下，用对称变换的思想研究诱导公式，让学生体会诱导公式就是变换T1、T2及其合成。

教学主线设计

复习三角函数的定义推导公式一由特殊到一般，推导公式二和公式六 归纳总结两类变换，推导公式四和公式五利用已有公式推导公式三、33和22的三角函数值例题讲解，总结一般方法和步骤当堂检测学习效果课堂小结。

【具体教学过程】

（一）课前预习

1、

若角的终边和单位圆交于点P，则点P的坐标可表示为

2、

若角和角的终边相同，则 3、

求390的三角函数值

（二）课堂导学

问题1：若角和角的终边相同，则它们的同名三角函数值有何关系？

公式一：

问题2：（1）设06，如果的终边与的终边关于x轴对称，你能用表示吗？这时sin与sin，cos与cos有什么关系？

（2）请你自己举出类似的例子，看看有没有同样的结论？

（3）一般地，设为任意角，的终边与的终边关于x轴对称，用表示，并求sin1

与sin，cos与cos的关系。

公式二：

问题3：（1）设6，将的终边逆时针旋转得，你能用表示吗？这时sin与2cos，cos与sin有什么关系？

（2）一般地，设为任意角，将的终边逆时针旋转得，用表示，并求sin与2cos，cos与sin的关系。

公式六：

归纳总结：从联系的观点看，上述问题可以归结为两类变换：

（1）关于x轴对称的轴对称变换T1：，单位圆上的点(x,y)经T1变为 ，

也就是cos() ，sin() 。

的旋转变换T2：，单位圆上的点(x,y)经T2变22为 ，也就是cos() ，sin() 。

22（2）将的终边逆时针旋转问题4：经过两次T2变换，就有 ，探求这个角的三角函数值

公式四：

问题5：经过一次T1变换，再经过一次T2变换，就有 

，探求这个角的三角函数值。

公式五：

问题6：利用已有的公式，你能推导出,,的三角函数值与的三角函数值的关系吗？

公式三：

问题7：怎样求这些角的正切值？

归纳总结：公式一、二、三、四、五都叫做三角函数的诱导公式。

诱导公式实质上是 。 例1、求值：

①

sin3232711 ②cos ③tan(1560)

64探究1：请你和你的同桌互相出一些需要利用诱导公式解决的简单三角函数求值问题

探究2：归纳利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤

问题7：公式二反映了函数的什么性质？

例2、判断下列函数的奇偶性：

①f(x)1cosx ②g(x)xsinx

2

例3、已知cos(75)（三）达标检测

1、求值：

①

sin(0100，且18090，求cos(150)的值。

316) ②cos(2040)

32、判断下列函数的奇偶性：

①f(x)|sinx| ②g(x)sinxcosx

3、已知sin(1x)，且0x，求sin(x)的值。

4524（四）课后练习

1、阅读课本，体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法；

2、课本23页

13、14、15 （五）课后反思

怎样获得诱导公式的?研究的过程中，体现了哪些数学思想方法?

附课堂教学环节

教学环节

设计

意图

用活动让学生体验问题的解决过程。

开门见山，统领全局，揭示本质，设置悬念，激发兴趣。

通过问题情境，引发认知冲突。

教师活动

学生活动

三角函数刻画了单位圆上的点的变化规律，它的基本性质与圆的几何性质——对称性有内在联系，这种对称性反映了三角函数的什么性质呢

回答课前预习问题1 引课前预习中的问题2和问题3入怎解决的。

课题

学生回答：

求390的三角函数值即为求终边相同的30的三角函数值

由三角函数的定义最终得出：

终边相同角的同一三角函数值相等。

00学生活动

引导学生把刚才的探究结果提炼为一般性的公式？

不断完善，得出公式一。

培养学生的抽象概括能力,强调角的任意性为后续学3

强调角的任意性

我们为什么要研究这组公式？引它有何作用？

入我们就可以把像这样的公式称课为“1.2.3三角函数的诱导公题

式”（板书）

提出问题2、问题3引导学生主动探究公式二和公式六。归纳两种变换。

确定研究路线：角间关系对称关系坐标关系三角函数值间关系 可以把不在02内角的三角函数值问题转化为02内角的三角函数值问题。

习埋下伏笔

培养学生分析问题的能力

主动探究、2和的三拓展探究

角函数值之间存在的某种特殊关系

得到公式二和公式六。

设置从具体到抽象，逐步扩大开放度的问题系列，目的是给学生一定的示范再支付放开思维空间，使“心动”和“行动”融合。

让学生体会数学学习中的方法，感受成功的喜悦。不同方法的交流让学生体会诱导公式之间的内在联系。

培养学生的数形结合意识，感受数学中存在的美。

提出探究需求，激发学生探究欲望：对于问题6，我们就完全可以类比刚刚的探究过程。我想完全交给大家来试试。引导学生用多种方法完成问题6

学生交流用不同方法，得到的同一探究结果。

在刚刚探究的过程中，对于公活式与角的终边对称性这两个方动面，你能谈谈你的感受吗？

探数与形，各有长处。大师华罗究

庚先生曾这样说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微。

怎样求这些角的正切值呢？

公式是角的终边具有对称性这种几何关系的代数表示。

数形结合。

学生回答：利用tan得，完成公式一～六

sin体会三角函数求常见的处理方cos法—切割化弦

认识诱导公式的本质,加深理解

让学生自己编题、解题，真正参与诱导公式的应用过程，归纳求任意角的三角函数值的一般方通过刚刚的探究过程，你怎样认识诱导公式。

学生回答：

诱导公式就是变换T1、T2及其合成

数学应用

提出问题:你能总结出任意角三角函数诱导为锐角三角函数

引导学生完成例1及探究 问题：

由例1的求值你能观察到什么共同点？

例1由3位同学到黑板板演

暴露问题，再解决问题。

学生回答：

任意角最后都化为锐角进行求值。

4

的一般步骤吗？

公式二还反应了三角函数具有的一个函数性质，你发现了吗？

我们这个性质来解决例2

分析例3中已知角和所求角的关系，引导学生完成例3

回答：函数的奇偶性，

法和步骤，学会利用转化与化归思想来解决问题。阶段概括用公式的f(x)f(x),f(x)f(x)

方法，感悟在完成例2 解决问题的过发现已知角和所求角之和等于程中，如何合理的使用这几，可以利用公式五求解

组公式。

2让学生认识三角函数也是一种函数，为以后学习三角函数的性质作铺垫。

学生板演练习：

相互之间纠错，改错。

教师点拨，学生不断总结和概括，进而将诱导公式内化到学生的知识结构中去

开放式小结，不同的学生有不同的学习体验和收获，充分调动学生积极性，让学生自己主动去总结回顾本节所学知识。

阅读课本旨在培养学生良好的学习习惯。

让学生进行巩固练习，进一步练强化对于任意角的三角函数转习化为锐角的三角函数的一般步巩骤的认知及转化与化归思想方固

法的渗透。

1．本节课你有哪些收获？

2．同学们的发言和板演对你有回顾何帮助？

小结

学生回答：

类比的方法，数形结合，对称思想，转化与化归，公式的应用。

任意角的三角函数值的求解步骤。

作业布置

1、阅读课本，体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法；

2、课本23页

13、14、15

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