2. 万有引力定律教学目标

6.4万有引力理论的成就

【教学目标】

1．了解万有引力定律在天文学上的重要应用。

2．会用万有引力定律计算天体质量，了解“称量地球质量”“计算太阳质量”的基本思路

3．理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法。

4．认识万有引力定律的科学成就，体会科学思想方法

【教学重点】

1．行星绕太阳的运动的向心力是由万有引力提供的。

2．会用已知条件求中心天体的质量。

【学习难点】根据已有条件求中心天体的质量。

【教学过程】

知识点一：“科学真是迷人”

1．计算地球质量：

（1）地球的质量是多少，这不可以用天平称量，但是可以通过万有引力定律来“称量”

（2）若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，

即mg＝________，式中M是地球的质量，R是地球的半径，也就是物体到地心的距离．

（3）由此可得出地球的质量M＝________. （4）设地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，地球半径R =6.4×106m，引力常量G=6.67×10-11 Nm2/kg2，试估算地球的质量。

（5）卡文迪许把他自己的实验说成是“称量地球的质量”在实验室里测量几个铅球之间的作用力，就可以称量地球这不能不说是一个科学奇迹。

“科学真迷人”。

2．计算地球密度：

我们将地球视为半径为R的均匀球体，其体积V=

地球的平均密度ρ=

3．计算重力加速度：

（1）地面表面的重力加速度：g=

（2）离地面高度为H处的重力加速度为g1，则有等式为：g1=

（3）对于其他星球表面或附近的重力加速度：假设某星球的质量为M0

，半径为r 。该星球表面的重力加速度g0=

；离该星球表面高度为h处的重力加速度为g0′=

知识点二：计算天体的质量

1．计算太阳的质量：

（1）行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是由行星与太阳间的万有引力提供，则有方程：

G

=m

=mω2r=m

设太阳质量为M，行星质量为m，太阳与行星之间的距离为r，行星的公转周期为T。

（2）由此可得出太阳的质量M=

2．计算行星的质量：

同样的道理，如果已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，也可以计算出行星的质量．

3．计算中心天体的质量：

太阳系中，观测行星的运动，可以计算________的质量；观测卫星的运动，可以计算

的质量．此方法总是能计算中心天体的质量

4．可以证明开普勒第三定律中的比例常数k只与中心天体的质量有关。

G

= m

等式变形可得

=

=k

知识点三：发现未知天体

1．18世纪，人们发现太阳系的第七个行星——天王星的运动轨道有些古怪：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。据此人们推测，在天王星轨道的外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的吸引使其轨道产生了偏离。

2．英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶，根据天王星观测资料各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道，1846的9 月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言位置的附近发现了这颗新星。人们称其为“笔尖下发现的行星”后来这颗行星命名为海王星。后来科学家利用这一原理还发现了第九颗行星冥王星。

3．海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈。

知识点四：万有引力定律的应用

应用万有引力定律解决天体运动问题的两条思路是：

（1）把天体(行星或卫星)的运动近似看成是匀速圆周运动，向心力由它们之间的万有引力提供。

即F万＝F向，可以用来计算天体的质量，讨论行星(或卫星)的线速度、角速度、周期、向心加速度等问题。

基本公式为：

G

=m

=mω2r=m

=m4π2rn2=mωv=man

（2）地面及其附近物体的重力近似等于物体与地球间的万有引力，即F万＝G＝mg，

主要用于计算涉及重力加速度的问题，此结论也适用于其他星球表面及其附近。

基本公式为：

g=

或

g1=

【当堂训练】

1．下列说法中正确的是（

）

A．万有引力定律是卡文迪许发现的

B．卡文迪许扭秤是用来验证万有引力定律是否正确的

C．被人们称为“能称出地球质量的人”是牛顿

D．万有引力是因为物体有质量而产生的引力

2．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是（

）

A．太阳对各小行星的引力不相同

B．各小行星绕太阳运动的周期均大于一年

C．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值

D．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值

3．太阳系中各大行星绕太阳运动的轨道可以粗略的认为是圆形，下表所示是几个行星距太阳的距离和行星质量的参数，由表中的数据可估算出天王星公转的周期最接近于（

）

行星

日星距离/×1011m 行星质量/×1024kg 水星

0.58 0.33 地球

1.50 6.00 火星

2.28 0.64 木星

7.78 1900 天王星

28.71 86.8 海王星

45.04 102 A．7000年

B．85年

C．20年

D．10年

4．各大行星绕太阳运转的轨道示意图如图所示，假设图中各行星只受到太阳引力作用，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是（

）

A．各行星运行的周期相同

B．各行星运行的线速度相等

C．离太阳越近的行星运行的周期越小

D．离太阳越近的行星运行的线速度越小

5．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕，“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的1/20，该中心恒星与太阳的质量比约为（ ）

A．1/10

B．1

C．5

D．10

6．地球到太阳的距离为水星到太阳距离的2.6倍，那么地球和水星绕太阳运行的线速度之比为（设地球和水星绕太阳运行的轨道为圆）（ ）

A．1/2.6

B．1/(2.6)2

C．1/

D．

7．地球的半径为R，某地球卫星在地球表面所受万有引力为F，则该卫星在离地面高度约6R的轨道上受到的万有引力约为（ ）

A．6F

B．7F

C．F/36

D． F/49

8．假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么（

）

A．地球公转的线速度小于火星公转的线速度

B．地球公转的周期大于火星的公转周期

C．地球公转的角速度大于火星公转的角速度

D．地球公转的加速度小于火星公转的加速度

9．如图所示，将两个质量m=2kg、球心相距r=0.2m的球水平放在无需考虑地球自转影响的北极点，它们之间的万有引力为F。地球对小球引力在两球连线方向的分力为Fx。已知地球的平均密度约为5.5×103kg/m3，则F/Fx的数量级约为（

）

A．104

B．102

C．10-2

D．10-4

10．关于重力和万有引力的关系，下列认识正确的是（ ）

A．地面附近物体所受的重力就是万有引力

B．重力是由于地面附近的物体受到地球的吸引而产生的

C．在不太精确的计算中，可以认为物体的重力等于万有引力

D．严格来说重力并不等于万有引力，除两极处物体的重力等于万有引力外，在地球其他各处的重力都略小于万有引力

11．已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，万有引力恒量为G，用以上各量表示地球质量M=

。

12．一名宇航员来到某个星球表面上，他测得质量为m的物体的重量是F ，若该星球的半径为R。则该星球的质量M=

。

13．一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的(

) A．0.25倍

B．0.5倍

C．2.0倍

D．4.0倍

14．设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为(

) A．1

B．1/9

C．1/4

D．1/16

15．最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运动一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍。假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周。仅利用以上两个数据可以求出的量有（

）

A．恒星质量与太阳质量之比

B．恒星密度与太阳密度之比

C．行星质量与地球质量之比

D．行星运行速度与地球公转速度之比

【巩固提高】

1．地球的半径为R，地球表面处物体所受的重力为mg，近似等于物体所受的万有引力。关于物体在下列位置所受万有引力大小的说法中，正确的是（

）

Ａ．离地面高度R处为4mg

Ｂ．离地面高度R处为mg/4 Ｃ．离地面高度3R处为mg/3

Ｄ．离地面高度R/2处为4mg/9

2．物体在月球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的1/6，这说明了（

）

A．地球的半径是月球半径的6倍

B．地球的质量是月球质量的6倍

C．月球吸引地球的力是地球吸引月球的力的1/6 D．物体在月球表面的重力是其在地球表面的重力的1/6

3．太阳表面半径为R，平均密度为ρ，地球表面半径和平均密度分别为R0和ρ0，地球表面附近的重力加速度为g0

，则太阳表面附近的重力加速度g（

）

A．Rg0/R0

B．ρg0/ρ0

C．Rρg0/R0ρ0

D．R0ρ0g0/Rρ

4．科学家探测表明，月球上存在丰富的氧、硅、铝和铁等资源。设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长期的开采后月球与地球仍可看作均匀球体，月球仍沿开采前的轨道运行，则

（

）

A．地球与月球间的万有引力将变小

B．地球与月球间的万有引力将变大

C．月球绕地球运行的周期将变小

D．月球绕地球运行的周期将变大

6．已知引力常量G和下列各组数据，能计算出地球质量的是

（

）

A．地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离

B．月球绕地球运行的周期及月球的半径

C．月球绕地球运行的速度及周期

D．已知地球的半径及地球表面的重力加速度

7．假设火星和地球都是球体，火星质量M火和地球质量M地之比为M火/M地＝p，火星半径R火和地球半径R地之比为R火/R地＝q，那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力加速度g地之比g火/g地等于（

）

A．p/q2

B．pq2

C．p/q

D．pq

8．已知太阳光从太阳射到地球需时间t，地球公转轨道可近似看成圆轨道，地球半径为R，试计算太阳质量M与地球质量m之比?

9．一艘宇宙飞船飞近某一个不知名的行星,并进入靠近该行星表面的圆形轨道，宇航员进行预定的考察工作，宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的质量和密度?

10．要想计算出太阳的质量，已知引力常量G和还需要已知行星绕太阳匀速圆周运动的哪组数据。

11．地球的质量大约是月球质量的81倍，一飞行器在地球与月球之间运行，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，这飞行器距地心的距离和距月心的距离之比为？

12．在物理学中，常常用等效替代、类比、微小量放大等方法来研究问题。如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了万有引力常量G的数值。如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图。卡文迪许的实验常被称为是“称量地球质量”的实验，因为由G的数值及其它已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为第一个称量地球的人。

（1）若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为m1、m2相距为r的两个小球之间引力的大小为F，求万有引力常量G （2）若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量及地球平均密度的表达式

【教学反思】

参考答案：

【当堂训练】

1．BD 2．BD 3．B 4．C 5．B 6．C 7．D 8．C 9．C 10．BCD 11．M=gR2/G 12．M=FR2/Gm 13．C 14．D 15．A

【巩固提高】

1．BD 2．D 3．C 4．A 5．AD 6．CD 7．A 8．4π2c3t3/gR2T2

9．M=4π2R3/GT2，不能测量该行星的质量；ρ=3π/GT2，能测出该行星的密度

10．半径和周期

11．9 12．（1）G=Fr2/m1m2；（2）M=gR2/G，ρ=3g/4πGR