习题训练板书设计及意图

《勾股定理》复习小结－习题训练学案

学习目标：

1.掌握勾股定理及逆定理，以及变式的简单应用，理解定理的一般应用方法。

2.经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数与形结合的数学思想。

3.通过对勾股定理及逆定理的应用训练，培养学习数学的兴趣和爱国热情，在数学活动中发展我们的探究意识和合作交流的良好学习习惯。

学习重点：勾股定理及逆定理的综合应。

学习难点：勾股定理在方程建模、轴对称、立体图形中的应用。

学习过程: 一、创设情景

明确目标

在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？

二、自主学习

指向目标

(1)知识点回顾：

勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么_______。

即直角三角形两直角边的______等于斜边的_____. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2，那么这个三角形是______三角形。

(2)勾股定理的直接应用：

1、下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（

）．

A．6，7，8

B．5，6，7

C．4，5，6

D．3，4，5

2.在Rt△ABC中，∠C=90°. （1）如果a=3，b=4，

则c=

；

（2）如果a=6，c=10，

则b=

；

（3）如果c=13，b=12，则a=

；

3、在△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（

）

A．BC2=AB2+AC2;

B．AB2=AC2+BC2;

C．AB2=BC2-AC2;

D．AC2=BC2-AB2

4、已知直角三角形的两边长为3、2，则第三条边长是

．

5. 在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（

）

A．一定不会

B．可能会

C．一定会

D．以上答案都不对

方法归纳：在解决此类问题时，应善于挖掘图中的隐含条件，即将所求的边放进直角三角形中，并根据图示，求出直角三角形的两边长，最后就容易根据勾股定理来求第三边了。同时在用勾股定理运算时注意常用的勾股数，如：3,4,5;6,8,10;5,12,13;8,15,17;7,24,25;9,40,41等等。

三、合作探究

达成目标

（1）会用勾股定理解决较综合的问题

1．证明线段相等. 已知：如图，AD是△ABC的高，AB=10，AD=8，BC=12 .

求证：

△ABC是等腰三角形.

2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10。求AF的长.

3.做高线，构造直角三角形.

已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=2.求（1）AB的长；（2）A S△ABC .

C B

方法归纳：解一般三角形的问题常常通过作高转化成直角三角形，利用勾股定理解决问题。

4. 与轴对称的结合应用

如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km小河

北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

北

A 牧童

东

B 小屋

（2）勾股定理及其逆定理的综合应用

已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，

且AB⊥BC.求四边形

ABCD的面积.

变式训练：如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，

BC=12m。求这块地的面积。

（3）勾股定理结合数学思想方法的应用

1.方程建模思想

例：在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

方法归纳：直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法，灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程求解。

2.转化思想

解决引例中的问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？

方法归纳：在立体面上求两点之间的最短距离, 首先画出它的平面展开图，将立体图形展开为平面图形，根据“两点之间线段最短”和“化曲面为平面”两种思想, 构建出直角三角形模型，利用勾股定理求其长。

四、总结梳理

内化目标

这节课你学到了什么？

五、达标检测

反思目标（★好简单！★★想一想！★★★使劲想！）

1.（★）一个直角三角形两直角边长分别为5cm、12cm，其斜边上的高为（

）

A．6cm

B．8cm

C．80cm

13

D．60cm 132.（★★）已知两条线段的长分别为11cm和60cm，当第三条线段的长为

______cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．

3. （★★）如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是（

）

A．16

B．18

C．19

D．21 4. （★★）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（

）

A.

B.

C．4

D．5

5. （★★★）在△ABC中，若AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（

）

A．42

B．32

C．42或32

D．37或33 6. （★★★）如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为

cm．

7. （★）如图，一游泳池长48米，小方和小朱进行游泳比赛，小方平均速度为3米/秒，小朱为3.1米/秒．但小朱一心想快，不看方向沿斜线游，而小方直游，俩人到达终点的位置相距14米．按各人的平均速度计算，谁先到达终点?

8. （★★★）如图所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为5cm，3cm，4cm．在顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到与顶点A相对的顶点B的食物．已知蚂蚁沿长方体表面爬行的速度是0.8cm/s，问蚂蚁能否在11秒内获取到食物？