2.5.1矩形的性质优质课教学设计

第2章

四边形

2.5

矩

形

第1课时

矩形的性质

教学目标：

1．理解并掌握矩形的性质定理及推论；(重点) 2．会用矩形的性质定理及推论进行推导证明；(重点) 3．会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算．(难点)

教学过程

一、情境导入

如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么？

可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．

我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示．

二、合作探究

探究点一：矩形的性质

【类型一】

运用矩形的性质求线段或角

在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长为(

) A．1cm

B．2cm

C．2.5cm

D．4cm 解析：在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°.根据矩形的性质得到△ABO≌△OCD，则OA＝OD，∠DAO＝45°，所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即BC＝

2AB.由矩形ABCD的周长为24cm，得2AB＋4AB＝24cm，解得AB＝4cm.故选D. 方法总结：解题时矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．

【类型二】

运用矩形的性质解决有关面积问题

如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的(

) A.15

B.14

C.133

D.10

解析：∵在矩形ABCD中，AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABO＝∠CDO.在△BOE和△DOF中，∠ABO＝∠CDO，OB＝OD，∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴S△BOE＝S△DOF，∴S1阴影＝S△AOB＝4S矩形ABCD.故选B. 方法总结：运用矩形的性质，通过证明

全等三角形进行转化，将求不规则图形的面积转化为求简单图形面积是解题的关键．

【类型三】

运用矩形的性质证明线段相等

如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心、边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE于F.求证：BF＝AE. 解析：利用矩形的性质得出AD∥BC，∠A＝90°，再利用全等三角形的判定得出△BFC≌△EAB，进而得出答案．

证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC.∵CF⊥BE，∴∠BFC＝∠A＝90°.由作图可知，BC＝BE.∠A＝∠CFB，在△BFC和△EAB中，∠AEB＝∠FBC，EB＝BC，∴△BFC≌△EAB(AAS)，∴BF＝AE. 方法总结：涉及与矩形性质有关的线段的证明，可运用题设条件结合三角形全等进行证明，一般是将两条线段转化到一对全等三角形中进行证明．

【类型四】

运用矩形的性质证明角相等

如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD. 解析：要证AE平分∠BAD，可转化为△ABE为等腰直角三角形，得AB＝BE.又AB＝CD，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定和矩形的性质，即可求证．

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠BEF＋∠BFE＝90°.∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°.∴∠BFE＝∠CED，∴∠BEF＝∠EDC.在△EBF与△DCE中，∠BFE＝∠CED，EF＝ED，∠BEF＝∠EDC，∴△EBF≌△DCE(ASA)．∴BE＝CD.∴BE＝AB，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴∠EAD＝45°，∴∠BAE＝∠EAD，∴AE平分∠BAD. 方法总结：矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决．

探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质

如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．

(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；

(2)求证：EF垂直平分AD.

解析：(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DE＝AE＝12AB，DF＝AF＝12AC，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．

(1)解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝112AB＝2×10＝5，DF＝AF＝112AC＝2×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；

(2)证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F在线段AD的垂直平分线上，∴EF垂直平分AD. 方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角

形斜边上的中线的性质进行求解．

三、板书设计

1．矩形的性质

矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．

2．直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．