2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学创新设计

1 《平面向量基本定理》教学设计

一、教学内容

本节内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4(人教A版）》第二章2.3.1平面向量基本定理。学生在学***面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。

二、教学方法与教学手段

本节课为新授课。根据班级的实际情况，在教学中积极践行新课程理念，倡导合作学习；注重学生动手操作能力与自主探究能力；在教学活动中始终以教师为主线、学生为主体，让学生经历动手操作、合作交流、观察发现、归纳总结等一系列的学习活动。教学方法是综合法，教学手段采用学案式（因条件限制，不使用多媒体）。

三、三维目标

1、知识与技能

（1）了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示某一向量；掌握两个向量夹角的定义及二向量垂直的概念，会初步求解简单的二向量夹角问题，会根据图形判断两个向量是否垂直。

（2）培养学生作图、判断、求解的基本能力。

2、过程与方法

（1）经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会由特殊到一般的思维方法；

（2）通过本节学习，让学生体会用基底表示平面内一个向量的方法，体会求解一些比较简单向量夹角的方法。

3、情感态度与价值观

通过本节的学习，培养学生的动手操作能力、观察判断能力，体会数形结合思想。

思、教学重点、难点

1、教学重点：

平面向量基本定理及其意义；两个向量夹角的简单计算；

2、教学难点：

平面向量基本定理的探究；向量夹角的判断。

五、教具使用

三角板、圆规、小黑板。

六、教学过程

教

学

环节

1、情境引入

已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b，c的和，

怎样表达？

教

学

内

容

学

生

活

动

教

师

活

动

设计意图

a=b+c

作图

提问、巡视，引导、从最简单的问题评价。

入手，以提高学生学习的积极性。

2、探究定理

■问题1：

如果向量b与e1共线、c与相互讨论、交流，学生单独回答。

学生阅读教材。

根据作图进行提问、引学生已经学习过用共线向量定理解决这里的问题应该不难。在教学中，应基于学生的知识生长点。

新课程标准指出：“学生的学习活动不应只限于接受、记忆、模仿与练习，高中数学课程还应倡导……阅读自学等学习的方式……”

以学生发展为本，一切为了学生，为了学生一切！

导、归纳，板书表达式：

共线向量定理，运2 a=1e12e2

引入课题：平面向量基本定理

教师巡视、引导

板书定理内容

引导、提问。

让同桌之间相互讨论，经过讨论后，提问不同的学生，给出评价，让学生们自己归纳出理解平面向量理时应注意的问题。

对（1）—（5），在学生归纳总结的基础上加以补充，讲清楚（1）、（3）、（4）的原因。

e2共线，上面的表达式发生什么变化？

学生阅读教材93页—94页第1、2自然段。

■问题2：

我们应注意些什么？谁来讲一讲。

注意：

（1）e1,e2是不共线的；

（为什么？）

（2）e1,e2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底；

（3）向量a是任意的，但一经确定后，1,2是唯一的；

（4）基底具有不唯一性。

（5）对这一式子：

对平面向量基本定理的理解，讨论、交流，学生单独回答。

讨论、交流，学生单独回答。

a=1e12e2称为用e1,e2

线性表示a。

例1、

如图，在△ABC中，D是BC边上的一个四等分点，试用基底学生独立思考

※

练习：

1．下面三种说法：

（1）一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示这个平面内的任一向量的基底；

挂小黑板：

展示题目；

师生共同解决。

提问、引导、评价。

根据教学需要，例1与这里的练习可适当调整。

对平面向量定理中基底，要有一个正确的理解。

检测学生对已学知识的掌握情况，给予及时补充与辅导。

AB，AC表示AD。

A

C D B

（2）一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示这个平面内的任一向量的

基底；

（3）零向量不可以作为基底中的向量。

其中说法正确的是

（写出正确说法的序号）

2、在平面内的四边形MNPQ中，下列一定可以作为该平面内任一向量的一组基底是（

）

3 (A)MN与QP;(B)MQ与PN;(C)QN与NQ;(D)MN与MP.

3、向量夹角

■问题3：

在向量加法一节中，曾经学习过求轮船的实际速度的方向，那里是用轮船的实际速度与水流速度的夹角来确定。这对你有何启示？

■问题4：

对于平面内不共线的两个向量，怎样描述它们的位置关系呢？

学生独立解决，教师进提问、引导、评价

师生互动，教师给出向量夹角的概念。

展示题目，师生互动，从不同的角度对向量夹角进行辨别。可进行变式训练，如求cos,sin的值等。

“温故而知新”，用学生已有的知识体系，构建新的知识体系。

向量是具有大小又有方向的量，对于两个方向的表示用夹角来表示比较直观。

教材上对这一知识点仅只概念而已，因此，有必要及时检测学生对夹角这一知识点的掌握情况，查缺补漏。

例2、在等边三角形ABC中，挂小黑板：

设向量AB与BC的夹角为___;



4、课堂练习

，则1、已知a,b一组基底且

学生独立完成。

巡视，引导、评价

对教学目标进行达成度检测，以便及纠错与补充。

m2na,2mnb，请用基底a,b表示m,n.

2、已知ab2，且a与600，求a+b与b的夹角为

4 a的夹角；a-b与a的夹角。

5、课堂小结

6、布置作业

（1）平面向量基本定理及应用；

（2）夹角的概念；

（3）特殊到一般、数形结合等数学思想的运用。

1、书面作业：

（1）已知e1，e2不共线，ae12e2,be1e2,且a,b是一组基底，求实数的取值范围。

（2）已知等腰三角ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，∠BAC=800。

①求向量巩固知识，升华方法。

让学生带着问题回去，有利于学习的可持续性发展，笔者认为，数学也应该先预习。

师生互动、共同总结。

反思过程，提炼思想；回顾思路，总结方法。

AB与向量DA的夹角；

②向量DA与向量BC是什么关系？说明理由。

2、课后思考：教材93页图2.3-2中,如是使e13、课后预习：教材2.3.2节的内容。

7、板书设计

§2．3．1平面向量基本定理

例1：解题过程。

二、向量夹角

知识点归纳

一、定理探究

向量夹角的的概念。

平面向量基本定理的内容。

例2：解题过程。

8、教学反思

e2会出现什么情况？

七、教学程序框图

开始上课

5 情境导入

定理探究

夹角问题

课堂练习

否

效果是否满意

是

归纳小结

布置作业

下

课

八、指导思想与理论依据

1、向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着丰富的实际背景。

2、新课程标准指出：“学生的学习活动不应只限于接受、记忆、模仿与练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习的方式……”“还应注重数学思维能力”“与时俱进地认识‘双基’”。因此，笔者这次教学设计就是基于此而设计的，其基本想法就是让学生经历知识的发生过程，通过动手操作、观察归纳、抽象概括、数形结合等思维活动获取新知识，从而对数学思想方法有一定程度的认识。