探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期板书设计

专题：函数y＝Asin(ωx＋φ)图像及应用

※知识要点

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质

振幅

周期

频率

相位

初相

2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示：

x

ωx＋φ

y＝Asin(ωx＋φ)

3．图象变换：以y＝sin xy＝Asin(ωx＋φ) (A>0,ω>0)为例

(1)相位变换：y＝sin x

y＝sin(x＋φ) (2)周期变换：y＝sin (x＋φ)

y＝sin(ωx＋φ) (3)振幅变换：y＝sin (ωx＋φ)

y＝Asin(ωx＋φ) 注：涉及横坐标变换时要只针对

进行直接变换．

※题型讲练

【例1】设函数f(x)＝2sin(ωx＋π3)(ω>0)的周期为π.

(1)求它的振幅、初相；

(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；

(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的．

变式训练1：

1．将函数y＝sin(x－π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是_____________．

2．要得到函数y＝3sin(2x－π4)的图象，应将函数y＝cos 2x的图象进行怎样变换？

3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋π4) (ω>0)的最小正周期为π，将f(x)的图象向左平移φ个单位得到函数g(x)，若g(x)图象关于y轴对称，则|φ|的最小值是__________．

【例2】函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω>0，－ππ2<φ<2)的部分图象如图所示，根据图像信息回答下列问题：

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)的对称轴及对称中心．

变式训练2：

1．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)+a(A＞0，ω>0，－ππ2<φ<2)的部分图象如图所示，根据图像信息回答下列问题：

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)的对称轴及对称中心．

2．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f(π24)＝________.

【例3】已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，－ππ2≤φ<2)的图象关于直线x＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.

(1)求ω和φ；

(2)求函数y＝f(x)在[0，π2]的最大值和最小值．

变式训练3：

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A>0，ω>0，|φ|<π2)最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在[0，π2]上的单调递减区间．

【例4】已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时刻记录的浪高：

t 0

3

6

9

12

15

18

21

24 y 1.5

1.0

0.5

1.0

1.5

1.0

0.5

0.99

1.5 经长期观测，f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b. (1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；

(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

变式训练4：

1．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：

ωx＋φ

0

π

π

3π22

2π

x

π5π3

6

Asin(ωx＋φ)

0

5

－5

0 (1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心.

※课后练习

1．若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为ππ2，直线x＝3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是(

) A．y＝4sin(4x＋π6)

B．y＝2sin(2x＋π3)＋2 C．y＝2sin(4x＋π3)

D．y＝2sin(4x＋π6)＋2 2．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(

) A．3π4

B．ππ4

C．0

D．－4

3．已知f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象(

) A．向左平移ππ8个单位长度

B．向右平移8个单位长度

C．向左平移ππ4个单位长度

D．向右平移4个单位长度

4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部

分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(

) A．2，－ππ3 B．2，－6

C．4，－π6

D．4，π3

5．将f(x)＝sin(x＋π16)图象上各点的横坐标缩短到原来的2(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度得到函数g(x)图象，则g(x)解析式是_____________，它的对称轴为__________．

6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m(A>0，ω>0，0<φ<π)，的最大值为4，最小值为0，直线x＝π73和直线x＝12π是其图象的两条相邻对称轴，则f(x)解析式是_______________．

7．设函数f(x)＝cos ωx (ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为____．

8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，

|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，

则该函数的解析式为____________．

9．如图为y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象的一段．

(1)求其解析式；

(2)若将y＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y＝f(x)，求f(x)的的解析式及其对称轴和对称中心．