复习参考题第二课时教学实录

《三角函数》复习教案

【知识网络】

应用

弧长公式

同角三角函数诱导

计算与化简

应用

的基本关系式

公式

证明恒等式

应用

三角函数的

已知三角函角度制与

任意角的

应用

任意角的概念

图像和性质

数值求角

弧度制

三角函数

和角公式

应用

倍角公式

应用

差角公式

应用

学法：

1．注重化归思想的运用．如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等

2．注意数形结合思想的运用．如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案．

第1课

三角函数的概念

考试注意：

理解任意角的概念、弧度的意义．

能正确地进行弧度与角度的换算．

掌握终边相同角的表示方法．

掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义．

掌握三角函数的符号法则．

例1

已知角的终边上一点P（－

3

，m），且sinθ= 2 m，求cosθ与tanθ的值．

4例2

已知集合E=｛θ｜cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π}，F=｛θ｜tanθ＜sinθ}，求集合E∩F．

θ点评

已知θ所在的象限，求

或2θ等所在的象限，要运用终边相同的角的表示法来2表示，否则易出错．

【知能集成】

注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等；已知角的终边上一点的坐标，求三角函数值往往运用定义法；注意运用三角函数线解决有关三角不等式．

第2课

同角三角函数的关系及诱导公式

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【考点指津】

掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos2α=1，

sinα

=tanα，tanαcotα=1，

cosα掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题

．

sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)

例1

化简

．

cos(π-α)tan(3π-α)

ππ1

例2

若sinθcosθ=

，θ∈(

，)，求cosθ－sinθ的值．

842

变式1

条件同例，

求cosθ+sinθ的值．

变式2

已知cosθ－sinθ= －

3

，

求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值．

2

例3

已知tanθ=3．求cos2θ+sinθcosθ的值．

【知能集成】

1．在三角式的化简，求值等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数．

2．注意1的作用：如1=sin 2θ+cos2θ．

3．要注意观察式子特征，关于sinθ、cosθ的齐次式可转化成关于tanθ的式子．

4．运用诱导公式，可将任意角的问题转化成锐角的问题

．

第3课

两角和与两角差的三角函数（一）

【考点指津】

掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题．

11

例1

已知sinα－sinβ=－

，cosα－cosβ=，求cos(α－β)的值

．

32

2cos10°-sin20°

例2

求

的值

．

cos20°

点评

化异角为同角，是三角变换中常用的方法．

例3

已知：sin(α+β)=－2sinβ．求证：tanα=3tan(α+β)．

点评

审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β看成一个整体

【知能集成】

审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想．

第4课

两角和与两角差的三角函数（二）

【考点指津】

掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题．

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例1

求下列各式的值

（1）tan10°＋tan50°+3

tan10°tan50°；

（3 tan12°-3）csc12°(2)

．

4cos 212°-2

点评

（1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB），asinx+bsinx=a2b2sin(x+φ)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法．

1+sin4θ-cos4θ1+sin4θ+cos4θ例2

求证

=

．

2 tanθ

1-tan2θ

点评

注意倍角公式cos2α=2cos2α－1，cos2α=1－2sin2α的变形公式：①升幂公式1-cos2α1＋cos2α1+cos2α=2cos 2α，1－cos2α=2sin2α，②降幂公式sin2α=

，cos2α=

22的运用；三角恒等式证明的方法：从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分析法等．

π7πsin2x＋sin2xtanx317π

例3

已知cos(+x)= ，＜x＜

，求的值．

45124

1-tanx

π

点评

（1）注意两角和公式的逆用；（2）注意特殊角与其三角函数值的关系，如1=tan

4等；（3）注意化同角，将所求式中的角x转化成已知条件中的角x+ π．

4【知能集成】

在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式：

tanA+tanB=tan(A+B)［1－tanAtanB］；

asinx+bcosx=a2b2sin(x+φ)及升幂、降幂公式的运用．

第5课

三角函数的图象与性质（一）

【考点指津】

了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质．

例1

（1）函数y=lg(1tanx)12sinx的定义域为

(2)若α、β为锐角，sinα＜cosβ，则α、β满足

（C）

ππA．α＞β

B．α＜β

C．α+β＜

D．

α+β＞

22

点评

（1）讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；（2）解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小．

例2

判断下列函数的奇偶性：

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(1)y= sinxcosx1sinxcosx.

；

(2)y=1cosx1sinxcosx

点评

将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性．

例3

求下列函数的最小正周期：

sin2xsin(2x)ππ3.

（1）y=sin(2x－)sin(2x+ ) ；(2)y= 63cos2xcos(2x)3

点评

求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成y=Asin(ωx+φ)＋k或y=Acos(ωx+φ) ＋k或y=Atan(ωx+φ) ＋k的形式（其中A、ω、φ、k 为常数，ω≠0）．

例4

已知函数f(x)=5sinxcosx－53cos2x+53

(x∈R) ．

2(1)求f(x)的单调增区间；

（2）求f(x)图象的对称轴、对称中心．

点评

研究三角函数的性质，往往需先化简，以化成一个三角函数为目标；讨论y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的单调区间，应将ωx+φ看成一个整体，设为t，从而归结为讨论y=Asint的单调性．

【知能集成】

讨论较复杂的三角函数的性质，往往需要将原函数式进行化简，其目标为转化成同一个角的同名三角函数问题．讨论三角函数的单调性，解三角不等式，要注意数形结合思想的运用．注意函数性质在解题中的运用：若一个函数为周期函数，则讨论其有关问题，可先研究在一个周期内的情形，然后再进行推广；若要比较两个角的三角函数值的大小，可考虑运用三角函数的单调性加以解决．

第6课

三角函数的图象与性质（二）

【考点指津】

了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的图象，理解参数A、ω、φ的物理意义．掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换．会根据图象提供的信息，求出函数解析式．

π

例1

函数y=Asin（ωx+φ)(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜)的最小值为－2，其图象相邻的2最高点和最低点横坐标差3π，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式．

点评

y=Asin(ωx+φ)中的A可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定，ω由周期的大y 小确定，φ的确定一般采用待定系数法，即找图像上特殊点坐标代入方程求解，也可由φ的几何意义（图象的左右平移的情况）等确定（请看下例）．

3

例2

右图为某三角函数图像的一段

13π（1）试用y=Asin（ωx+φ)型函数表示其解析式；

O πx

33（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式．

－3

π（φ

点评

y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sinωx的图象向左平移（φ＞0）或向右平移|φ|＜0）个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于ω一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．

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13

例3

已知函数y=cos2x+ sinxcosx+1 (x∈R)．

22(1)当y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

点评

（1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语．（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化．

【知能集成】

已知三角函数y=Asin(ωx+φ）的图象，欲求其解析式，必须搞清A、ω、φ和图象的哪些因素有关；y=sinωx和y=sin(ωx+φ)两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易搞错，解题时要倍加小心．

第7课

三角函数的最值

【考点指津】

掌握基本三角函数y=sinx和y=cosx的最值，及取得最值的条件；掌握给定区间上三角函数的最值的求法；能运用三角恒等变形，将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题．

例1

求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值，并求出此时x的值．

点评

要熟练掌握y=asinx+bcosx类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx= a2+b2

sin（x+φ）．

πππ

例2

若θ∈［－, ］，求函数y=cos(+θ）+sin2θ的最小值．

12124点评

（1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或g(cosx))，是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx，cosx的有界性，通过换元转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题；（3）对于y= Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，应先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint和y=Acost的单调性求出最值．

例3

试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．

点评

注意sinx+cosx与sinxcosx的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某个区间上的最值问题．

【知能集成】

较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(ωx+φ)+k型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值．用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx与sinxcosx的关系，令sinx+cosx=t，则t2－1sinxcosx=

．

2

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