3.1.2 概率的意义优质教案设计

河北无极中学

第三章

概率

课题名称

一

基本概念

基本内容：1.1 随机事件及其概率

1.2 概率的基本性质

学时

2 教学重点（难点）

1、确定现象、随机现象、基本事件、复杂事件、必然事件、不可能时间；

2、概率的基本性质。

基本要求

1、会判断随机事件；

2、掌握概率的基本性质。

教学课型

新授

教学方法

讲授法

1.1 随机事件及其概率

在十进制计数中，1+1必定等于2；太阳每天早晨从东方升起；在标准大气压下，水加热到100℃必然会沸腾......我们把这种在一定条件下必然会发生某一种结果的现象称为确定现象。

与确定现象不同，“明天的天气情况”会有多种可能的结果出现，可能是晴天，可能是阴天，也可能下雨，事先无法确定；“投掷一枚硬币的情况”可能正面向上，也可能正面向下......这种现象在一次观察中具有多种可能发生的结果，而究竟发生哪个结果事先无法肯定，但在大量重复观察时会呈现其规律性，我们把这种现象称为随机现象。

考察一个随机现象，必须通过试验对它的各种可能出现的结果作出进一步剖析，这一类试验称为随机试验。粗略的说，我们把随机试验的可能出现也可能不出现的结果称为随机事件，简称事件，并用大写英文字母A,B,C,...来表示。例如，“明天下雨”是一个事件。又如，掷一枚硬币，“出现正面向上”也是一个事件。

有的事件很简单，有的事件比较复杂。例如，考察掷一颗骰子的出现点数的试验，所有可能发生的结果为：“出现的点数是1”，“出现的点数是2”......“出现的点数是6”。一次随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件，以上6个事件都是基本事件，而事件“出现的点数是偶数”，则由3个基本事件组成，即由基本事件“出现的点数是2”，“出现的点数是4”，“出现的点数是6”组成，我们把这种可以由多个基本事件组成的事件叫做复杂事件。

例3.1.1 下列随机试验中，各有几个基本事件：

投掷一枚硬币，观察哪面向上。

从10个同类产品（其中有8个正品，2个次品）中任意抽取3个，观察出现的次品数。

解 （1）“投掷一枚硬币的结果”这一随机试验共有2个基本事件：

A=“国徽向上”，B=“币值向上”。

“从8个正品、2个次品中任意抽取3个，出现的次品数”这一随机试验共有3

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个基本事件：

A=“没有次品，B=“恰有一个次品”，C=“有2个次品”。

随机试验所产生的基本事件具有下列性质：（1）在任何一次试验中，任意两个基本事件不会同时出现；（2）在任何一次试验中，所有基本事件中必定有一个出现；（3）该随机试验的任一事件，都是由若干基本事件组成的。

在一定条件下必然会出现的事件称为必然事件，通常用大写英文字母U表示。在一定条件下一定不出现的事件称为不可能事件，通常用大写英文字母V表示。例如，“在标准大气压下，水加热到100℃沸腾”是必然事件；“没有水分，种子发芽”是不可能事件。

必然事件和不可能事件都是确定性现象的试验结果。今后，我们把它们看作是随机事件的两种极端情况，这将会对随机事件的研究带来方便。

对于随机事件，在一次试验中是否发生虽然不能事先知道，但是它们在一次试验中发生的可能性大小是客观存在的。例如，抛掷一枚均匀的硬币。硬币有两个面，一面铸着国徽，另一面标明币值。为了方便，我们规定铸有国徽的一面是正面，标明币值的一面是反面。把一枚硬币向上抛起，让它自由落到地面，记下它哪一面向上。多次重复这个试验，然后统计出现正面向上的次数，并计算其频率。

历史上有不少人作过这种抛掷硬币的试验，下表列出他们的试验记录。

表3.1 实验者

投掷次数 n 出现“正面向上”m频率 n的次数m 德摩根

2048 1061 0.518 蒲丰

4040 2048 0.5069 皮尔逊

12000 6019 0.5016 皮尔逊

24000 12012 05005

容易看出，投掷次数越多，频率越接近0.5. 值得指出的是，频率的稳定值不会因人而异，它是事件本身所固有的。任何人做这个试验，只要试验次数足够多，都会得到同样的稳定值。读者也可以尝试一下，看看是否能得到这个稳定值。

在掷一次硬币之前，我们无法预言将出现正面还是反面。但是，如果你打算将一枚硬币掷10000次，我们就可以预言“正面向上”大约会出现5000次，也就是说，随机事件A=“正面向上”和B=“正面向下”发生的可能性都是0.5.经过更加仔细的分析可以知道，这种掷硬币的试验总是在一定的条件下重复进行的。譬如说，我们规定：硬币是均匀的，没有风的影响，用一定的动作向上抛，让硬币自由落下，落到桌面时不会在它的边沿上立起来等等。在一次试验中，事件A（正面向上）是否发生是不确定的。但在相同条件下进行大量重复试验时，事件A发生的次数呈现出一定的规律性，约占试验次数的一半。这可以表示为：

A出现的次数A发生的频率=试验总次数，接近0.5 一般来说，在相同条件下重复进行n次试验，事件A在n次试验中发生m次，当

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m试验次数n很大时，如果频率n“稳定”在数值p附近，则称数值p为事件A发生的概率，记作

P(A)=p 简单地说，频率的稳定值叫做概率，这个定义通常称为概率的统计定义。定义本身给出了概率的一种近似求法，即通过大量重复试验，用事件A发生的频率作为其概率的近似值。

1.2 概率的基本性质

由于概率是频率的稳定值，因此我们可根据频率推知概率有以下基本性质：

每一随机事件A的概率P(A)总是介于0月1之间，即0≤P(A)≤1. 因为事件A在n次试验中出现的次数m总是取0，1，2，...，n中某一个数，因mm此0≤n≤1，所以当n增大时，频率n的稳定值即概率P(A)也必在0与1之间。

必然事件U的概率等于1，即P（U）=1. n因为必然事件U在n次试验中出现n次，频率为n=1，所以概率P(U)=1. 不可能事件V的概率等于0，即P(V)=0. 0因为不可能事件V在n次试验中出现次数为0，频率为n=0，所以P(V)=0. 由于不可能事件与必然事件是随即事件的两个极端情况，所以任何随机事件的概率当然介于不可能事件的概率和必然事件的概率之间。

如果事件A的概率P(A)与0非常接近，则事件A在大量重复试验中出现的次数非常少，我们称这样的事件A为小概率事件。小概率事件虽然不是不可能事件。但是通常认为这个事件在一次试验中几乎是不发生的。这一原理称为实际推断原理，在后面的统计推断中要用到。事件的概率究竟小到多少才可认为它是不可能时间呢？这不能一概而论，得由事件的重要程度来决定。例如，0.01是一个不大的数，如果有一批炮弹，0.01是这批炮弹发射后落下未爆炸的概率。这意味着大约有1%的射击无效，这是可以容许的。但是如果0.01是跳伞时伞不能张开的概率，这无论如何不能看作是不可能事件，因为它直接关系到跳伞者的性命。

作业

习题3.1

第1、2、3题

教学后记