探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教案设计（一等奖）

《函数y=Asin（ωx+φ）的图象》的教学设计

兴宁市田家炳中学

刘史辉

【一】教材分析

本节课所讲的内容是高中数学必修4第一章《三角函数》第五节的内容，三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的式子变形和图形分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。高等数学以及其他应用技术学科，都要经常用到三角函数及其性质，因此这些内容既是解决生产实际问题的工具，又是学习高等数学等学科的基础，也是我们要着重学习和加强的环节。在本章第四节“三角函数的图象和性质”的内容中，教材通过正余弦曲线的形状特点的研究得到了正余弦函数的性质，进一步得出函数y=Asin(ωx+φ)的图象，由此揭示这类函数的图象和正弦函数曲线的关系以及A、ω、φ的物理意义，使学生根据周期函数和最小正周期的意义，以及从图象变化的过程中，进一步了解正余弦函数的性质，从而向学生揭示了得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一种思维过程：即由正弦曲线变换得到，这一思维过程并不表示实际画图方法，但充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想，所以本节承载着三角函数这一章中的重要作用。三角函数中许多化简、求值题以及研究函数性质的问题都涉及到Asin(ωx+φ) 的形式，研究它的图象能使学生将已有的知识形成体系，有助于培养学生利用数形结合的思想解决问题。同时，本节课在教学中力图向学生展示尝试观察、归纳、类比、联想等数学思想方法。希望通过这节课达到以下目的：

【二】教学目标

1、知识目标：①掌握φ、ω、Α的变化对函数图象的形状及位置的影响;

②进一步研究由φ变换、ω变换、Α变换构成的综合变换。

2、能力目标：培养学生的实践能力和分析问题、解决问题的能力，归纳总结能力、逻辑思维能力。

3、德育目标：①数形结合思想的渗透；

②培养学生“由简单到复杂、由特殊到一般”的辩化归思想和辩证思想;

③培养学生的探究能力和协作学习的能力，从而提高学习数学的兴趣。

【三】教学重点、难点

1、重点：将考察参数φ、ω、Α对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响进行分解，从而学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法

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2、难点：①在观察图象变换中发现规律,并能用自己的语言来表达。

②φ变换、ω变换、Α变换的不同顺序对图象的影响。

【四】教学基本流程

探索φ对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响

探索ω对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响

探索A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响

将y=sinx的图象变为y=Asin(ωx+φ)的图象的方法

【五】教学过程：

教学环节

教

学

程

序

设

计

意

图

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似，从解析式来看，函数y=sinx就是y=Asin(ωx+φ)在A=1，ω=1，φ=0时的情况

在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y复习与时间x的关系等都是形y=Asin(ωx+φ) 的导入

函数（其中A, ω, φ都是常数）.

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系?

演示课件《弹簧振子位移——时间的图象》通过联想类比，去发现它与前面学过的正弦曲线、余弦曲线的联系，去揭示该函数①从学生已熟悉的弹簧振子的位移——时间的图象去明确研究函数y=Asin(ωx+φ) （A.>0, ω>0）的图象的目的，使新课引入显得自然、易于接受。

②让学生明确理论是从实践中来，又回到实践中去。使学生学习研究目的性更加明确。

创设

图象与我们即将要学的函数y=Asin(ωx+情景

φ) ，（A.>0, ω>0）的图象之间联系。

探索方法

问题1你认为可以怎样讨论参数φ、ω、Α对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响？

问题2如何由函数y＝sin x的图象通过变换引导学生观察、分析图象，归纳出不同的伸缩、平移变化次序及变化的量之间的联系，明确由特殊到一般的思想方法．在学生交流的过程中，对其合理的想法和见解给予及时、充分的肯定，调动其思维的积极性．

问题2以三个具体例子来学习三得到函数y＝3sinx、

y＝sin2x和

y＝sin(x+)种基本变换，在此基础上追问一般情3的图象？

①师生合作探究周期变换②学生探究相位变第

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况，即：A、ω、φ的作用和物理意义，再借助大屏幕以填空题的形式清

方法尝试

自主探索

方法换③学生探究振幅变换

晰展现．

教师用计算机作出函数图象动态演示变让学生大胆尝试，使学生对函数图象换过程，引导学生观察变化过程中的不变量，有一个初步的感性认识。

得出结论

问题3：如何由函数y＝sin 2x的图象通过变学生在此问题中，认为简单，其实很换得到函数y＝sin(2x+)的图象？

3容易出错，并且在探究错因时，难于理解．因此我引导学生先猜结果，再独立探索，合作交流，最后统一看法，得出结论

着重学生的元认知过程，使变化过程在学生的脑海里形成规律性，从而理解函数图象的实质。

问题4：由正弦曲线如何变化得到函数1y=2sin(x-)的图象

36问题5：三种变换可否任意排序？

1、规律探究:2、规律总结

1例1：作出函数y=2sin(x-)的图象，并指①从例1通过演示图象的伸缩、左、36出它的图象与y=sinx的关系。

右平移，引导学生观察、分析，从特例题的完成过程是指导学生利用五点法作图殊到一般，从具体到抽象，去总结出并引导学生如何选取五点。并利用课件演示y=Asinx、y=sinωx、y=sin(x+φ)与变化过程，通过观察、分析从而揭示规律。

y=sinx的图象之间的联系。

②在例1的基础上作出练习1，2的图象，并演示出其变化过程，从而总结出函数y=2sin(1x-)的图象与36应

用

y=sinx的图象的关系及不同的变换方法。

根据时间，练习1—3个题目（给出了三个题目，从难度上分两个层次，体现分层要求，由学生自主选择1—2个题目练习，充分体现学生学习的主动性、自主性）

练习：

（1）已知函数y=3sin(x+π/5)，x∈R的图象为C,为了得到函数y=3sin(x-π/5)，x∈R的图象，只需把C上所有的点(

D ) 反馈(A)向左平行移动π/5个单位长度

练

习

(B)向右平行移动π/5个单位长度

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(C)向左平行移动2π/5个单位长度

(D)向右平行移动2π/5个单位长度

（2）已知函数y=3sin(x+π/5)，x∈R的图象

为C,为了得到函数y=3sin(2x+π/5)，x∈R考查知识的综合应用

的图象，只需把C上所有的点( B ) (A)横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

反馈(B)横坐标缩短到原来的1/2倍，纵坐标不变

练

习

(C)纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

(D)纵坐标伸长到原来的1/2倍，横坐标不变

（3）已知函数y=3sin(x+π/5)，x∈R的图象为C,为了得到函数y=4sin(x+π/5)，x∈R的图象，只需把C上所有的点( C ) (A)横坐标伸长到原来的4/3倍，纵坐标不变

(B)横坐标缩短到原来的3/4倍，纵坐标不变

(C)纵坐标伸长到原来的4/3倍，横坐标不变

(D)纵坐标伸长到原来的3/4倍，横坐标不变

小结主要由学生思考、讨论完成，教师进行①

引导学生对所学的知识、数学思点拨、补充。主要总结以下几点：

1 、以不同顺序变换φ、ω、Α的方法. 2 、作函数y=Asin(x+) 的图象：

想方法进行小结。

②

引导学生对学习过程进行反思，为今后的学习中进行有效调控打下良好的基础。

课堂（1）用“五点法”作图。（2）利用变换关系小

结

作图;

3、正弦曲线变换得到函数

y=Asin(x+)的图象

——顺序可任意，平移要注意；

常常是平移、周期再振幅.

根据学生的不同层次分为必做和选做,由学①

布置作业有弹性，避免一刀切。

②

使学有余力的学生进一步训练逆向思维，使知识掌握更加深刻。

布置生自主选择。

作

业

必做：必修4习题1.5A组第2、第3两题。

选做：第5题

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说明：

①图象变换问题，函数的各种变换都是自变量x 或函数值y进行的变换。

②强调A、ω、φ引起的变换不同的顺序及变化的量的关系。

③教学中采用多媒体的手段，利用几何画版制作的CAI课件，使学生获得丰

富的感官刺激，有利于完善学生认知结构及掌握知识的程度。

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