复习参考题教案推荐

第三章

三角恒等变换习题课

一、教学目标：

知识与技能：

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；

2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；

3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 过程与方法：

通过知识回顾及典例分析的过程，让学生熟悉基本题型，形成解决问题的思路。培养学生分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法．

情感、态度与价值观

通过复习及解题训练归，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从知识系统化的观念，帮助学生构建良好的知识网络。

二．重点难点 重点：掌握两角和（差）的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式，并能解决常见问题。

难点：知识的综合运用及分类和转化思想。

三、教材与学情分析

求三角函数值及化简问题是三角函数中的基本问题之。运用两角和（差）及二倍角公式进行变形是求三角函数值的基本方法。在解题训练中培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。

四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学．

五、教学过程

（一）.温故知新

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

tan α±tan βsin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；

cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β；

tan(α±β)＝. 1∓tan αtan β2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

1

2tan αsin 2α＝2sin αcos α.

cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα.

tan 2α＝. 1－tan2αb22其中tan φ＝3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a＋bsin(α＋φ)或

a2222f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)其中tan φ＝ab. （二）自我检测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(

) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(

) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan

αtan β可以变形为tan α＋tan β

＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(

) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(

) 解析

(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋kπ，k∈Z. 答案

(1)√

(2)√

(3)×

(4)√

答案

D 2.函数ysin2xcos2x的最小正周期

(

)

A. 2

B. 4

C. 4

D. 2

解析

ysin2xcos2x11222sin2xcos2x2sin4x，T242

故选D. 答案

D 3、已知sincos15,且0,那么tan等于

A．43

B.

34

C.

34

D.

43

解析

sincosa15，整理得25cos2a5cosx120，解得cosa34sin2cos2a15或cosa5

由题意0，所以sin0，故cosa35

所以tana43 ，故选A

2

（三）典例解析

考点一

三角函数式的化简

【例1】

,都是锐角，且sin33

6556C.

6554,cos(),则sin的值是

(

) 13516B.

6563D.

65A.

54,cos()

135解析

sincos1sin2121335

sin()1cos2()sinsinsincoscossin

312451651351365

答案

B

规律方法：

三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等. 【训练1】

(1)2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________. 12cos4α－2cos2α＋2(2)化简：＝________. π2π2tan4－αsin4＋α解析

(1)原式＝4cos24＋2（sin 4－cos 4）2＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|，

53因为4π<4<2π，所以cos 4<0，且sin 4

3

1答案

(1)－2sin 4

(2)2cos 2α

考点二

三角函数式的求值

【例2】

(1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin280＝________. sin 2α＋2sin2α7ππ317π(2)已知cos4＋α＝5，12<α<4，则的值为________. 1－tan α11(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝2，tan β＝－7，则2α－β的值为________. cos 10°＋3sin 10°·解析

(1)原式＝2sin 50°

＋sin 10°·cos 10°13cos 10°＋22sin 10°2sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·)·

cos 10°32cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×2＝6. sin 2α＋2sin2α2sin αcos α＋2sin2α2sin αcos α（cos α＋sin α）1＋tan α(2)＝＝＝sin 2α＝sin sin α1－tan αcos α－sin α1－tan α1－cos απ2α·tan4＋α. 17π7π5ππ44π3ππ由12<α<4得3<α＋4<2π，又cos4＋α＝5，所以sin4＋α＝－5，tan4＋α＝－3. sin 2α＋2sin2α272728ππ＋α－cos α＝cos＝－，sin α＝－，sin 2α＝.所以＝－410102575. 41－tan α28答案

(1)6

(2)－75

规律方法

(1)已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)，最后将已知条件及其变形代入所求式子，化简求值. (2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，π选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，2，选正、余弦ππ皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－2，2，选正弦较好. 【训练2】

(1)4cos 50°－tan 40°＝(

) A.2

B.2＋32

4

C.3

D.22－1 π43π(2)已知sinα＋3＋sin α＝－5，－2<α<0，则cos α的值为________. 113π(3)已知cos α＝7，cos(α－β)＝14(0<β<α<2)，则tan 2α＝________，β＝________. sin 40°－sin 40°2sin 80°－sin 40°sin 40°4cos 40°解析

(1)原式＝4sin 40°－cos 40°＝＝

cos 40°cos 40°＝2sin（120°－40°）－sin 40°3cos 40°＋sin 40°－sin 40°＝

cos 40°cos 40°3cos 40°＝＝3，故选C. cos 40°ππ4333434(2)由sinα＋3＋sin α＝－5，得2sin α＋2cos α＝－5，sinα＋6＝－5. π3ππππα＋又－<α<0，所以－<α＋<，于是cos＝. 623665ππ33－4α＋－所以cos α＝cos66＝10. 1π432tan α2×4383(3)∵cos α＝7，0<α<2，∴sin α＝7，tan α＝43，∴tan 2α＝＝－47. 2＝1－tanα1－48ππ33∵0<β<α<2，∴0<α－β<2，∴sin(α－β)＝14，∴cos β＝cos[α－(α－β)] 11343331π＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝7×＋×＝，∴β＝1471423. 答案

(1)C

(2)33－483π

(3)－1047

3

考点三

三角变换的简单应用

【例3】

已知△ABC为锐角三角形，若向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A，1＋sin A)是共线向量. (1)求角A；

C－3B(2)求函数y＝2sinB＋cos2的最大值. 23解

(1)因为p，q共线，所以(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，则sin2A＝4. 3π又A为锐角，所以sin A＝2，则A＝3.

5

ππ－3－B－3BC－3B1π222－2B(2)y＝2sin

B＋cos2＝2sinB＋cos＝2sinB＋cos3＝1－cos 2B＋2cos 2π3312B＋2sin 2B＝2sin 2B－2cos 2B＋1＝sin2B－6＋1. πππ5πππ因为B∈0，2，所以2B－6∈－6，6，所以当2B－6＝2时，函数y取得最大值，此时Bπ＝3，ymax＝2. 规律方法

解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等. 1【训练3】已知函数f(x)＝(2cosx－1)·sin 2x＋2cos 4x. 2(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间；

π2απ(2)若α∈(0，π)，且f4－8＝2，求tanα＋3的值. 1112解

(1)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋2cos 4x＝cos 2xsin 2x＋2cos 4x＝2(sin 4x＋cos 4x)＝2π4x＋sin，

4π∴f(x)的最小正周期T＝2. ππ3kππkπ5π令2kπ＋2≤4x＋4≤2kπ＋2π，k∈Z，得2＋16≤x≤2＋16，k∈Z. kππkπ5π∴f(x)的单调减区间为2＋16，2＋16，k∈Z. π2απ－α－(2)∵f48＝2，即sin＝1. 43ππtan4＋tan3－1＋3πππ3πππ3π因为α∈(0，π)，－4<α－4<4，所以α－4＝2，故α＝4.因此tanα＋3＝3ππ＝1＋31－tan4tan3＝2－3. 六、课堂小结

1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.

(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；

(2)变名：尽可能减少函数名称；

6

(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等. 2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形. 七、课后作业

1.课时练与测

八、教学反思

7