2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计和教学实录

2.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P94～P100的内容，回答下列问题．

(1)在平面内，规定e1，e2为基底，那么一个向量关于e1，e2的分解是唯一的吗？

(2)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量.根据平面向量基本定理，＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？

与实数对(x，y)之间是否一一对(3)如果向量应？

也用(x，y)表示，那么这种向量(4)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求a＋b，a－b，λa的坐标？

(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求出2．归纳总结，核心必记

(1)平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

(2)平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，则(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．

(3)向量i，j，0的坐标表示

的坐标吗？

i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)．

(4)平面向量的坐标运算

文字

符号

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a－b＝(x1－x2，加

两个向量和的坐标等于这两个向量相应法

坐标的和

减

两个向量差的坐标等于这两个向量相应法

数

乘

实数与向量的积的坐标等于用这个实数向

量

重

要

一个向量的坐标等于表示此向量的有向结

论

线段的终点的坐标减去始点的坐标

乘原来向量的相应坐标

坐标的差

y1－y2) 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy) 已知向量AB―→的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则AB―→＝(x2－x1，y2－y1)

1

(5)平面向量共线的坐标表示

前提条件

结论

a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0

当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a、b(b≠0)共线

[问题思考] (1)在平面直角坐标系中，若a＝b，那么a与b的坐标具有什么特点？为什么？

提示：若a＝b，那么它们的坐标相同，根据平面向量基本定理，相等向量在平面直角坐标系中的分解是唯一的，所以相等向量的坐标相同．

(2)与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？

提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x，0)，与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．

(3)点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？

提示：区别：①表示形式不同，向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．

②意义不同，点A(x，y)的坐标表示点A在平面直角坐标系中的位置，向量a＝(x，y)的坐标既表示大小，又表示方向；另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)．

联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点坐标相同．

(4)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示为＝吗？

提示：不一定，为使分式有意义，需分母不为0，可知只有当x2y2≠0时才能这样表示．

(5)如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？

11提示：将b写成λa的形式，根据λ的符号判断，如a＝(－1，2)，b＝，－＝－3611(－1，2)＝－a，故a，b反向．

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讲一讲

1．如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点x1y1x2y2D的坐标和的坐标．

2

[尝试解答] 由题知B、D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．

设B(x1，y1)，D(x2，y2)．

由三角函数的定义，得

x1＝cos 30°＝3131，y1＝sin 30°＝，∴B，. 2222123，

2x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝31∴D－，. 22∴＝31，，22

31＝－，. 22求点和向量坐标的常用方法

(1)在求一个向量时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．

(2)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．

练一练

1．已知O是坐标原点，点A在第一象限，|(1)求向量的坐标；

的坐标．

|＝43，∠xOA＝60°，

(2)若B(3，－1)，求解：(1)设点A(x，y)，则x＝43cos 60°＝23，

y＝43sin 60°＝6，即A(23，6)，(2)

＝(23，6)．

＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).

讲一讲

2．(1)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标；

(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且，，求M，N及的坐标．

[尝试解答] (1)a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)，

a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)，

3a＝3(－1，2)＝(－3，6)，

2a＋3b＝2(－1，2)＋3(3，－5)

3

＝(－2，4)＋(9，－15) ＝(7，－11)．

(1)平面向量坐标运算的方法

①若已知向量的坐标，则直接利用向量和、差及向量数乘运算的坐标运算法则求解．

②若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再利用向量的坐标运算法则求解．

(2)坐标形式下向量相等的条件及其应用

①条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．

②应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值．

练一练

2．已知a＝点A的坐标．

解：∵b＝(－3，4)，c＝(－1，1)，

∴3b－2c＝3(－3，4)－2(－1，1)＝(－9，12)－(－2，2)＝(－7，10)，即a＝(－7，10)＝. 1－x＝－7，＝(1－x，0－y)＝(－7，10)，∴0－y＝10，B点坐标为(1，0)，b＝(－3，4)，c＝(－1，1)，且a＝3b－2c，求又B(1，0)，设A点坐标为(x，y)，则

4

x＝8，⇒

y＝－10，即A点坐标为(8，－10)．

讲一讲

3．(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于(

) 11A.

B.

23C．1 D．2 (2)设向量三点共线．

[尝试解答] (1)法一：a＋2b＝(1，2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1，2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)．由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ1＝. 2法二：假设a，b不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，从而1＝2μ，方程组显然无解，即a＋2b与2a－2b不共线，这与(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，2＝－2μ，＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A、B、C121从而假设不成立，故应有a，b共线，所以＝，即λ＝. λ12

∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，

4－k＝λ（10－k），即解得k＝－2或k＝11. －7＝λ（k－12），∴当k＝－2或11时，A、B、C三点共线．

∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，

即k－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11. ∴当k＝－2或11时，A、B、C三点共线．

答案：(1)A 2

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(1)向量共线的判定方法

①利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. ②利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．

(2)三点共线的实质与证明步骤

①实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．

②证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(ⅰ)证明向量平行；(ⅱ)证明两个向量有公共点．

练一练

3．(1)已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当实数k为何值时，(ka＋b)∥(a－3b)？这两个向量的方向是相同还是相反？

(2)已知点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x)．

①求实数x的值，使向量②当向量

共线；

共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？

解：(1)∵a＝(1，2)，b＝(－3，2)，

∴ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)．

1由题意得(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－. 311此时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，

331∴当k＝－时，(ka＋b)∥(a－3b)，并且它们的方向相反．

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