探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学实录与评析

正弦、余弦函数的性质---周期性

唐山市玉田二中

张福悦

一、教材分析

1、教材的地位和作用

对三角函数又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数的其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．

2、教学重点和难点

重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性．

难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期．

二、目标分析

学情分析：

学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．

本课的教学目标：

(一)知识与技能

1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．

2．会求一些简单三角函数的周期. (二)过程与方法

从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sinx图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sinx的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．

(三)情感、态度与价值观

让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力．

三、教法分析

1.教学方法:引导发现法、探索讨论法

为了把发现创造的机会还给学生,把成功的体验让给学生,为了立足于学生思维发展,着力于知识建构,就必须让学生有观察、动手、表达、交流、表现的机会;为了激发学生学习的积极性和创造性,分享到探索知识的方法和乐趣,使数学教学成为再发现,再创造的过程．

2.学法指导: 问题探究法

根据课程标准“倡导积极主动，勇于探索的学习方式”理念，教材内容的特点以及学生的知识、能力、情感等因素，本节课宜采用问题探究法．

3.教学手段：借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性．

四、教学过程

教学程序

教学内容

创

设

问

题

情

境

复

习

回

顾

引导学生回顾：

1．诱导公式（一）

2．正弦线

3．利用正弦线画正弦函数图象（动画演示）

由动画演示观察可得：

正弦函数图象具有周而复始的变化规律

问题：图象具有周而复始的变化规律如何用数学表达式来表达？

引导学生回顾旧知为新课做准备. 通过动画演示让学生直观感知周而复始的变化规律．

生活中有哪些周而复始现象

？

学生举例

从实际问题引入，使学生了解数学来源于生活．

问题的提出为学生的思维提供强大动力，激发学生的探究欲望.

设计意图

构

建

周

期

函

数

定

义

教学程序

正弦函数y=sinx图象

y y

20O 22523x

通过对正弦函数y=sinx图观察正弦函数y=sinx图象特征可知：

在区间象观察、分析，结合诱导公式，由生活中的周期现象到数学中的周期现象，由具体到抽象，构建出周期函数的定义，这样设计主要是立足于从学生的最近思维区入手，着力于知识建构，培养学生观察、分析和抽象概括能力,并进一步渗透数形结合思想方法.

设计意图

0,2、2,4、4,6…内重复．

由三角函数图象和诱导公式可得：sin(2π+x)=sinx, 问: 对于sin(2π+x)=sinx,若记f(x)=sinx,则对于任意x∈R,都有f(

)=f(

) 若记f(x)=sinx,则对于任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x)

周期函数及周期的定义

周期函数定义如下：一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

教学内容

正弦函数的周期和最小正周期的定义.

理

解

周

期

函

数

定

义

函数y=sinx的周期：2、2kπ(k∈Z且k≠0). 最小正周期的概念. 对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期. 上面的函数y=sinx的最小正周期为2. 判断题：

1．因为期. 2.周期函数的周期唯一. 3.函数f(x)=5是周期函数. （分四人一组进行讨论,再由学生发表看法）

体会：

1. 周期的定义是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的

4、6、……

让学生理解最小正周期的定义，培养学生的数形结合能力．

sin(42)sin4,所以2是ysinx的周

设计判断题让学生去讨论主要是为了帮助学生正确理解周期函数概念，防止学生以偏概全，让学生学会怎样学习概念；培养学生透过现象看本质的能力，使学生养成细致、全面地考虑问题的思维品质．

让学生在自主探索、自由想象和充分交流的过程中，不断完善自己的认知结构，充分感受成功与失败的情感体验．

x值满足：f(xT)f(x)，不能说T是yf(x)的周期．

2.周期函数的周期不唯一．

3.周期函数不一定存在最小正周期．

说明：今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期.

探

究

余

弦

函

数

的

周

期

教学程序

应

用

问题：

余弦函数y=cosx是周期函数吗？即能否找到非零常数T，使cos(T+x)= cosx成立？若是，请找出它的周期，若不是，请说明理由．

通过对定义的理解、余弦函数图象，类比正弦函数，可以得到余弦函数是周期函数，这样使学生加深对定义的理解，培养学生类比思想和数形结合能力．

教学内容

设计意图

例1．求下列函数的最小正周期T. （1）f(x)3sinx，xR；

（2）f(x)sin2x，xR；

设计例1使学生加深对定义的理解，培养学生的数形结合能力．

1f(x)2sin(x)24，xR；

（3）方法：①函数图象观察得到周期

②周期函数定义

课

堂

反

馈

000sin(30120)sin301.等式

是否成立?如果这个

通过课堂反馈能准确、及时等式成立,能否说的一个周期？

120是正弦函数ysinx

0地了解学生对本节课的掌握情况,做到及时反馈、评价,及时查漏补缺,达到堂堂清.

2.求下列函数的周期: (1)ycos4x,xR1(2)ycosx,xR2

回

顾

反

思

2π.

1.周期函数、周期概念．

2.函数y=sinx和函数y=cosx是周期函数,且周期均为

引导学生对所学知识进行小结,有利于学生对已有的知识3.周期的求法：

①图象法

②定义法

4.探索问题的思想方法

结构进行编码处理,加强记忆．

课

外

作

业

与

课

外

思

课外作业：

求下列函数的周期：

课外作业的布置是为了进xy3sinysin(x)4，xR；(2)10，xR；(1)

一步巩固课堂所学知识；

1y3sin(x)ycos(2x)24，3,xR(4)(3)课外思考题的布置是让学xR

课外思考：

1.求函数生把课堂探索拓展到课外探索，进一步激发学生探究欲望，进一步培养学生创造性思维．

f(x)Asin(x)和

f(x)Acos(x)（其中A,,为常数，且

考

A0,0）的周期．

2.求下列函数的周期：

（1）y|sinx|，xR；（2）y|cos2x|，xR

附：板书设计

课题：正弦、余弦函数的周期性

周期函数定义

3. 例1 版演及学生演示区

正弦函数y=sinx的周期为2

余弦函数y=cosx的周期为

设计意图

为了使学生全面系统地了解本节内容的知识结构,达到突出重点,简洁明了的目的.

五.评价分析: 1．个别学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化”的本质学生感到有一定困难.上课时虽然借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维,但是还是有部分学生理解起来有困难.这方面的训练以后要加强. 2．部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，课后要及时对他们加强辅导．

3．学生运用定义求函数周期掌握得不是很好. 上黑板板演的学生都出现了不同程度的错误.在以后的教学中还需进一步加强．

2

.