阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质PPT专用教学设计内容

向量的基本应用

向量知识的工具性特点在数学的许多分支中都有体现，尤其在高等数学与解析几何中向量的思想渗透的很广泛。向量具有很好的“数形结合”特性。一是“数”的形式；二是“形”的形式。由此可见将向量引入高中数学教材的重要性。但是许多同学在高中阶段学习向量后不知道究竟要掌握什么难度，不知道用什么思路去想向量问题！下面就列举清华北大自主招生题目中的向量问题来一起探讨！

例1：已知0为ABC的外心，ABC600，BOBABC,则的最___值为_____，此时ABC为_____三角形。

分析：如何将BABC转化为一个向量是问题的关键。

如图，延长BO交直线AC于点D，BBOBABCkBD,有BDkBAkBC，而OACkk1，则k。问题就转化为BOkBD,D求k的范围即可。

B点在优弧AC上运动时，BO长度不变，OD长度会改变。显2然ABC为正三角形时，k有最大值3。

O

BADC那么k有最小值吗？看看下一个图就清楚了！

升华：将多元转化为一元，数形结合，再运用三点共线时，系数和为1的结论就可以了。

例2：已知边长为1的正ABC的中心为O，在ABC的内切圆上取一点P，将PA,PB,PC,PO四个向量分为两组{a,b}和{c,d},把（a+b）·(c+d)的取值集合记为K，则对于一切点P,有（ ）

A: K0

B: D: K0,1 C: K0,K0,

分析：此题关键在将未知向量转化为已知向量或将多个向量转化为一个向量。

方法一：如图，M为AB中点，N为CO中点，有

CPAPB2PM,POPC2PN

NOAPMB（PAPB)(POPC)4PMPN0

方法二：

PA=POOA,PB=POOB,PC=POOC

（PAPB）（PCPO)(2POOAOB)(2POOC)

有

(2PO2OM)(2POOC)

4PO2POOC4POOM2OMOC

4PO2PO(OC2OM)4PO0

所以答案为ABC

升华：将未知量转化为已知量，将多元转化为一元，数形结合是解决向量问题的基本方法，也是解决所有数学问题的基本方法。

例3：已知正三棱锥P-ABC的侧棱长为a,过其底面中心O作动平面α，交线段PC于点S，交PA,PB的延长线于M,N两点，下列说法正确的是（

）

222111111A:

PSPMPN是定值

B:

PSPMPN不是定值

11121113==

C:

PSPMPNa

D:

PSPMPNa

OP分析：平面向量中有一性质：P为AB中点，则1(OAOB)2。那么空间向量中，P为正ABC中心，O为面ABC外一点，有什么性质？

平面向量中有一性质：P在直线AB上时，有OPOAOB，且1。那么空间向量中，P点在ABC面内，有什么性质？类比一下！

111PAPBPCPOPAPBPCPMPNPS3333PM3PN3PS

由于S,M,N,O四点共面，有

PAPBPC11131=3PM3PN3PS，所以PSPMPNa。

答案：AD 升华：立体几何中应该讲过上面两结论，此题也不难。

不管是竞赛题还是北大清华自主招生题，向量这一块的都不难，高考题相对容易多了。由此可见，PS难题不是在知识点上有多难，而是在数学思维，解题方法上的难度，难题真正考查的是一个人的数学素养。

ACOBMN