2.5.2 向量在物理中的应用举例教学目标设计

向量在物理中的应用举例

学习目标：1.运用向量解决简单的几何、力学等问题． 2.掌握向量这种解题工具．

[温故知新] 1．向量方法解题的三个步骤：

(1)建立适当坐标系，将向量问题转化成解析几何问题；

(2)通过向量运算，研究有关几何如长度、夹角等问题；

(3)正确理解向量的几何或物理意义．

2．向量在物理学中的应用：

(1)物理中常见的向量有力，速度，加速度，位移等．

(2)向量的加减法运算与矢量中的力，位移分解与合成密切相关. (3)功是力F与所产生的位移s的数量积．

[基础题型] 1．判断正误

→→(1)若△ABC是直角三角形，则有AB·BC＝0.(

) →→(2)若AB∥CD，则直线AB与CD平行．(

) (3)用力F推动一物体水平运动s m，则力F对物体所做的功为|F||s|.(

) [解析]

(1)错误．因为△ABC为直角三角形，∠B并不一定是直角，有可能是∠A或∠C为直角．

→→(2)错误．向量AB∥CD时，直线AB∥CD或AB与CD重合．

(3)错误．力F对物体所做的功为F·s. [答案]

(1)×

(2)×

(3)×

2．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________J. 300

[W＝F·s＝6×100×cos 60°＝300(J)．] →2→→→→3．设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|BC|＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则→|AM|＝________. →→→→2

[∵|AB＋AC|＝|AB－AC|，

→→→→∴AB·AC＝0，AB⊥AC，

∴△ABC是直角三角形，BC为斜边，

→1→1∴|AM|＝|BC|＝×4＝2.] 22“

[综合题型] →→→→→→ABAC→ABCA1·BC＝0且＋

(1)已知非零向量AB与AC满足·＝，则△→→→→2|AB||AC||AB||AC|ABC的形状是(

) A．三边均不相等的三角形

C．等腰三角形

B．直角三角形

D．等边三角形

(2)已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．

[思路探究]

(1)先由平行四边形法则分析＋的几何意义，由数量积为0推出→→|AB||AC|垂直关系，再由AB→→ACCA1·＝求∠BAC，最后判断△ABC的形状．

→→2|AB||AC|AB→→(2)先建系设点P坐标，再根据A，P，F和C，P，E分别共线求点P坐标，最后求四边形APCD的面积．

→→ABAC→→＋(1)C

[(1)由·BC＝0，得∠A的平分线垂直于BC，所以AB＝AC，设AB，→→|AB||AC|→CA的夹角为θ，

而CA1·＝cos θ＝，

→→2|AB||AC|AB→→π2又θ∈[0，π]，所以∠BAC＝π－＝π，故△ABC为等腰三角形．

33(2)以A为坐标原点，AB为x轴AD为y轴建立直角坐标系，如图所示，

∴A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)，

F(6,4)，E(3,0)，

→设P(x，y)，AP＝(x，y)，

→AF＝(6,4)，EP＝(x－3，y)，EC＝(3,6)．

由点A，P，F和点C，P，E分别共线，

4x－6y＝0，得x－－3y＝0，→→

9x＝，∴2y＝3，

“

∴S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△AEP－S△CEB

1145＝36－×3×3－×3×6＝.] 222→→→→→探究：1.将本例1(1)的条件改为(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，试判断△ABC的形状．

→→→→→[解]

∵(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，

→→→→→→∴(OB－OC)·(OB－OA＋OC－OA)＝0，

→→→∴CB·(AB＋AC)＝0，

→→→→∴(AB－AC)·(AB＋AC)＝0，

→2→2→2→2∴AB－AC＝0，即|AB|－|AC|＝0，

→→所以|AB|＝|AC|，

∴△ABC是等腰三角形．

2．将本例1(2)的条件“BF∶FC＝2∶1”改为“BF∶FC＝1∶1”，求证：AF⊥DE. [证明]

建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)，则中点E(3,0)，F(6,3)，

→→∴AF＝(6,3)，DE＝(3，－6)，

→→∴AF·DE＝6×3＋3×(－6)＝0，

→→∴AF⊥DE，∴AF⊥DE. [规律方法]

向量法证明平面几何中AB⊥CD的方法：

→→→→法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB和CD；③证明AB·CD的值为0；④给出几何结论AB⊥CD. →→→法二：先求AB，CD的坐标，AB＝从而得到几何结论AB⊥CD. 用向量法证明平面几何中AB∥CD的方法：

→→→→法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB和CD)；③寻找实数λ，使AB＝λCD，→→即AB∥CD；④给出几何结论AB∥CD. →→→法二：先求AB，CD的坐标，AB＝→（x1，y1），CD＝（x2，y2）.利用向量共线的坐标x1，y1，CD＝x2，y2，再计算AB·CD的值为0，→→→→→关系x1y2－x2y1＝0得到AB∥CD，再给出几何结论AB∥CD. “

→→

已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若RA＝2AP，求点P的轨迹方程. [思路探究]

设Px，y，Rx0，y0→→依据RA＝2AP找x，

→y与x0，y0的关系→由点R在直线消x0，y0得x与y→

l得y0＝2x0－6的关系即为所求[解]

设P(x，y)，R(x0，y0)，

→则RA＝(1,0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)，

→AP＝(x，y)－(1,0)＝(x－1，y)．

x－→→1－x0＝由RA＝2AP，得－y0＝2y.，

又∵点R在直线l：y＝2x－6上，∴y0＝2x0－6，

1－x0＝2x－2，

①∴6－2x0＝2y， ②

由①得x0＝3－2x，代入②得6－2(3－2x)＝2y，整理得y＝2x，即为点P的轨迹方程．

[规律方法]

用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；

[巩固练习] 1．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．

(1)求直线DE的方程；

(2)求AB边上的高线CH所在直线的方程．

[解]

(1)设M(x，y)是直线DE上任意一点，

→→则DM∥DE，

因为点D，E分别为边BC，CA的中点，

所以点D，E的坐标分别为D(－1,1)，E(－3，－1)，

→DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)，

所以(－2)(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，

即x－y＋2＝0为直线DE的方程．

→→→→(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则CN⊥AB，所以CN·AB＝0，

→“

→→又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4)，

所以4(x＋6)＋4(y－2)＝0，

即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．

(1)一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功等于________．

(2)设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为π，如图2­5­1所示．

23

图2­5­1

①求F3的大小．

②求F2与F3的夹角. [解题思路]

(1)求出合力、位移的坐标表示

→利用数量积求功

(2)①由三个力处于平衡状态用F1，F2表示F3

→用向量模的计算公式求F3的大小

②用F1，F2表示F3→构造F2·F3→利用夹角公式求解

(1)－40

[因为F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，所以合力F＝F1＋F2＋F3＝→(8，－8)，AB＝(－1,4)，

→则F·AB＝－1×8－8×4＝－40，

即三个力的合力所做的功为－40.] (2)①由题意|F3|＝|F1＋F2|，

2因为|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为π，所以|F3|＝|F1＋F2|＝311＋4＋2×1×2×－＝3. 2②设F2与F3的夹角为θ，

因为F3＝－(F1＋F2)，

所以F3·F2＝－F1·F2－F2·F2，

所以3·2·cos θ

“

1＝－1×2×－－4，

2所以cos θ＝－5所以θ＝π. 6[规律总结]

向量在物理中的应用：

1.

建立适当直角坐标系，将向量用坐标表示能够使思路清淅，运算简便.

2.向量表示物理量. 3．通过构建向量模型解决问题。

[巩固练习] 2．在静水中划船速度的大小是每分钟40 m，水流速度的大小是每分钟20 m，如果一小船从岸边O处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？

→[解]

如图所示，设向量OA的长度和方向表示水流速度的大小和→→方向，向量OB的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以OA，→3，

2OB为邻边作平行四边形OACB，连接OC. 依题意OC⊥OA，BC＝OA＝20，OB＝40，

∴∠BOC＝30°.

故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进．

[课后作业] 1．过点M(2,3)，且垂直于向量u＝(2,1)的直线方程为(

) A．2x＋y－7＝0

C．x－2y＋4＝0 B．2x＋y＋7＝0 D．x－2y－4＝0 →→A

[设P(x，y)是所求直线上任一点，则MP⊥u.又MP＝(x－2，y－3)，所以2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0.] 2．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以ABCD为顶点的四边形是(

) A．菱形

B．邻边不相等的平行四边形

C．梯形

D．两组对边均不平行的四边形

→→→→→→B

[因为AD＝(8,0)，BC＝(8,0)，所以AD＝BC，因为BA＝(4，－3)，所以|BA|＝5，而→|BC|＝8，故为邻边不相等的平行四边形．] “

3．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)，且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为(

) A．(9,1) C．(0,9) B．(1,9) D．(9,0) A

[f＝f1＋f2＋f3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，

设终点为B(x，y)，则(x－1，y－1)＝(8,0)，

x－1＝8，所以y－1＝0，

x＝9，所以y＝1，

所以终点坐标为(9,1)．] 4．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为________．

3

[设所用时间长短为t，则

→AB＝tv，即(3,6)＝t(1,2)，

所以t＝3.] 5．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE. [证明]

以C为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(略)．

设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，

a12D0，，C(0,0)，Ea，a. 233→a→12因为AD＝－a，，CE＝a，a，

233→→1a2所以AD·CE＝－a·a＋·a＝0，

323→→所以AD⊥CE，即AD⊥CE.

“