2.3.1 变量之间的相关关系名师教学设计1

第四节

变量间的相关关系、统计案例

1.会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之间的相关关系．

2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程．

3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．

4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．

[知识梳理] 1．变量间的相关关系

(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．

(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．

2．两个变量的线性相关

(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线．

n^^^^i＝1(2)回归方程为y＝bx＋a，其中b＝∑xiyi－nx

yn^^，a＝y－bx. ∑x2i－nxi＝1n2(3)通过求Q＝∑

(yi－bxi－a)2的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据i＝1的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫作最小二乘法．

(4)相关系数：

当r>0时，表明两个变量正相关；

当r<0时，表明两个变量负相关．

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．

3．独立性检验

假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：

x1

x2

总计

y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

2nad－bcK2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．

a＋ba＋cb＋dc＋d[自主诊断] 1．如图是根据x，y的观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)得到的散点图，可以判断变量x，y具有线性相关关系的图是(

)

A．①②

C．②③

B．①④

D．③④

解析：若变量x，y具有线性相关关系，那么散点就在某条直线附近，从左上到右下，或从左下到右上，故选D. 答案：D 2．已知x、y取值如表：

x y 0

1.3

1

m 4

3m 5

5.6

6 7.4 ^画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为y＝x＋1，则m的值(精确到0.1)为(

) A．1.5

C．1.7

B．1.6 D．1.8 ^0＋1＋4＋5＋6解析：由题意知，x＝＝3.2，将x＝3.2代入回归方程y＝x＋15可得y＝4.2，则4m＝6.7，解得m＝1.675，则精确到0.1后m的值为1.7，故选C.

答案：C 3．随机询问某幼儿园的100名孩子是否爱吃零食，得到如下的列联表：

爱吃零食

不爱吃零食

总计

P(K2≥k0)

k0

0.10

2.706

0.05

3.841

0.025 5.024 男孩

10

20

30

女孩

40

30

70

总计

50 50 100 22nad－bc100×10×30－20×40由K2＝算得K2＝≈4.762.则得a＋bc＋da＋cb＋d50×50×30×70到的正确结论是(

) A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”

C．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”

D．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”

解析：∵K2≈4.762＞3.841，∴在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”．故选A. 答案：A ^^^4．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到回归直线方程y＝bx＋a，那么下面说法错误的是(

) ^^^A．直线y＝bx＋a必经过点(x，y) ^^^B．直线y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点

^^^^i＝1C．直线y＝bx＋a的斜率b＝xiyi－nx

y2x2i－nxnn

i＝1

^^^n^^2D．直线y＝bx＋a和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的总体偏差[yi－bx＋a]i＝1i是该坐标平面上所有直线与这些点的总体偏差中最小的

^^^解析：回归直线方程y＝bx＋a经过样本点的中心(x，y)，可能不经过(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的任何一点，这些点都分布在这条直线附近．故选B. 答案：B 5．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．

①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；

②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；

③这种血清预防感冒的有效率为95%；

④这种血清预防感冒的有效率为5%. 解析：K2≈3.918≥3.841，而P(K2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．

答案：①

根据上面所做题目，请填写诊断评价

诊断评价

错题题号

错因(在相应错因中画√) 知识性

方法性

运算性

审题性

※

用自己的方式诊断记录

减少失误从此不再出错

考点一

相关关系的判断

1．(1)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是(

)

解析：(1)观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系．

答案：D (2)(2017·湖北七市联考)为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图(x轴、y轴的单位长度相同)，用^^^回归直线方程y＝bx＋a近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是(

)

A．线性相关关系较强，b的值为1.25 B．线性相关关系较强，b的值为0.83 C．线性相关关系较强，b的值为－0.87 D．线性相关关系较弱，无研究价值

解析：由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近，所以线性相关关系较强，且应为正相关，所以回归直线方程的斜率应为正数，且从散点图观察，回归直线方程的斜率应该比y＝x的斜率要小一些，综上可知应选B. 答案：B

相关关系的直观判断方法就是作出散点图，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线形也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则不具备相关性．

[即时应用]

1．(2015·高考湖北卷)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(

) A．x与y正相关，x与z负相关

B．x与y正相关，x与z正相关

C．x与y负相关，x与z负相关

D．x与y负相关，x与z正相关

解析：因为y＝－0.1x＋1，x的系数为负，故x与y负相关；而y与z正相关，故x与z负相关．

答案：C 考点二

线性回归方程

2．(2017·广东四校联考)某百货公司1～6月份的销售量x与利润y的统计数据如下表：

月份

销售量x(万件)

利润y(万元)

1

10

22

2

11

25

3

13

29

4

12

26

5

8

16

6 6 12 ^^^(1)根据2～5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程y＝bx＋a；

(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？

解析：(1)根据表中2～5月份的数据，

计算得x＝11，y＝24，

i＝2xiyi＝11×25＋13×29＋12×26＋8×16 5＝1 092，

2222x2i＝11＋13＋12＋8＝498，

5i＝2

^i＝2则b＝xiyi－4x

y2x2i－4x55

i＝21 092－4×11×2418＝＝7，

498－4×112^^^1830a＝y－bx＝24－7×11＝－7. ^1830故y关于x的回归直线方程为y＝7x－7. (2)当x＝10时，

^1830150y＝7×10－7＝7，

150此时7－22＜2；

^183078当x＝6时，y＝7×6－7＝7，

78此时7－12＜2. 故所得的回归直线方程是理想的．

^^1．正确理解计算b，a的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．

^^^2．回归直线方程y＝bx＋a必过样本点中心(x，y)．

3．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．

[即时应用] 2. 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份

2008

2010

2012

2014

2016

需求量(万吨)

236

246

257

276

286 ^^^(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y＝bx＋a；

(2)利用(1)中所求出的回归直线方程预测该地2018年的粮食需求量．

解析：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，为此对数据预处理如下：

年份－2012

需求量－257

－4

－21

－2

－11

0

0

2

19

4 29 对预处理后的数据，容易算得，x＝0，y＝3.2，

^260b＝40＝6.5，

^^a＝y－bx＝3.2. 由上述计算结果，知所求回归直线方程为

^^^y－257＝b(x－2012)＋a＝6.5(x－2012)＋3.2，

^即y＝6.5(x－2012)＋260.2. (2)利用回归直线方程，可预测2018年的粮食需求量为6.5(2018－2012)＋260.2＝6.5×6＋260.2 ＝299.2(万吨)．

考点三

独立性检验

3．(2017·宜春模拟)某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级800名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的有60人，数学优秀但物理不优秀的有140人，物理优秀但数学不优秀的有100人．

(1)能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？

(2)4名成员随机分两组，每组2人，一组负责收集成绩，另一组负责数据处理，求学生甲分到负责收集成绩组且学生乙分到负责数据处理组的概率．

2nad－bc附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d

a＋bc＋da＋cb＋d

P(K2≥k0)

k0

解析：(1)由题意可得列联表：

数学优秀

数学不优秀

总计

20.010

6.635

0.005

7.879

0.001 10.828 物理优秀

物理不优秀

总计

60

100

160

140

500

640

200 600 800 800×60×500－140×1002因为K＝≈16.667＞10.828，

160×640×200×600所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关．

(2)设其他学生为丙和丁，4人分组的情况如下表：

小组

收集成绩

数据处理

1

甲乙

丙丁

2

甲丙

乙丁

3

甲丁

乙丙

4

乙丙

甲丁

5

乙丁

甲丙

6 丙丁

甲乙

分组的情况总共有6种，学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理占2种，

21所以学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理的概率P＝6＝3.

解独立性检验的应用问题的2个关注点

(1)两个明确

①明确两类主体；

②明确研究的两个问题．

(2)两个关键

①准确画出2×2列联表；

②准确计算K2.