3.2.2 （整数值）随机数（random numbers)的产生设计意图

课 题：(整数值)随机数(random numbers)的产生

教材：《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修3(人教A版)

1．教材分析

（1）教学内容：随机数和伪随机数的概念，蒙特卡罗方法.

（2）内容分析：《(整数值)随机数的产生》（以下简称《随机数》）这节课的主要知识内容是随机数和伪随机数;涉及的数学方法是蒙特卡罗方法,数学思想是算法思想；而要解决的关键问题是教材P138例6,即“

天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，这三天中恰有两天下雨的概率是多少？”. 在内容处理方面，首先要让学生弄清什么是随机数，什么是伪随机数，但仅仅这样是不够的，更重要的是要让学生弄清为什么要学习随机数，为什么要用计算机产生伪随机数来代替随机数.然而，有了产生随机数（或伪随机数）的方法，并没有解决用模拟试验来估计随机事件的概率问题.因此，了解蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，并用蒙特卡罗方法计算一些随机事件的概率的估计值就成为必要的学习内容.在利用蒙特卡罗方法计算概率的估计值时，对于一次次试验结果的统计是一件非常麻烦的事情，这正好是利用算法解决问题的绝好机会，也是对学生进行算法思想熏陶的好时机. 因此，对于《随机数》这节课的设计，我是从具体案例出发，让学生体会学习随机数的必要性. 同时，在利用蒙特卡罗方法计算随机事件的概率的估计值时，引导学生写出算法步骤或画出程序框图，借助于适当的信息技术编出程序让计算机（器）计算概率的估计值.

2．目标分析

根据上述教材分析，本节课的教学目标应确定为：

（１）明确（整数值）随机数及伪随机数的概念；

（２）会用信息技术工具产生（整数值）随机数（实际上是伪随机数）；

（３）通过具体案例理解蒙特卡罗方法（随机模拟方法），能针对具体的随机事件设计概率模型，并通过蒙特卡罗方法得出随机事件的概率的估计值. （４）在信息技术环境下，通过算法解决大量重复模拟试验中的数据统计问题，实现计算随机事件的概率的估计值，并由此进一步体会随机模拟方法与算法思想.

3．教学重点与难点

（1）重点：通过具体案例理解蒙特卡罗方法，并用算法的思想实现计算随机事件的概率的估计值是本节课的教学重点. （2）难点：建立什么样的概率模型来进行模拟，通过怎样的步骤来进行随机模拟试验，是本节课的教学难点之一；如何通过算法处理好利用蒙特卡罗方法进行大量的随机模拟试验时产生的数据，则成为本节课的又一教学难点.

4．教学方法与手段

方法：教师启发下的学生主动探究是本节课的主要教学方法.

手段：恰当的信息技术是本节课达到教学目标的重要支持条件，无论是随机数的产生，还是根据蒙特卡罗方法设计算法求随机事件的概率的估计值，都离不开有随机函数和编程功能，且操作简单的计算器（或计算机）．基于此，考虑到我校的实际条件，本节课选用富有图形计算功能的诺亚舟搜学王NP1200型学习机作为技术支持.

5．教学流程

通过【问题１】激发学生学习欲望，为引出本节课的内容作铺垫

通过【问题2】介绍(伪)随机数的概念并利用计算器产生伪随机数

在算法思想指导下，实现用计算器产生伪随机数模拟掷骰子试验

通过【问题3】，使学生体会如何建立用于模拟试验的概率模型

通过【问题4】，使学生完整地体会蒙特卡罗方法，以及如何在算法思想指导下实施随机模拟试验

教师介绍蒙特卡罗方法的基本原理、步骤和应用的广泛性

通过【问题5】，让学生体会用于模拟试验的概率模型的不唯一性

通过【问题6】，开阔学生视野，小结本课内容

通过评价分析中的问题，布置作业

6．教学过程：

问题设计

【问题１】天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，这三天中恰有两天下雨的概率是多少？”

【问题２】将一个骰子掷1次，向上一面出现1点的概率是多少？如果将一个骰子掷1000次，向上一面出现1点的次数大约是多少？如果通过试验的方法，要估计（掷一个骰子1次）向上一面出现1点的概率，你会怎么做？

师生活动

教师：给出【问题１】，启发学生认识到下雨这件事情不好试验，每天下雨的概率也不能用已学过的古典概型来计算.

学生：在教师给出【问题１】后，理解“每一天下雨的概率均为40%”这一事件，思考这个事件能否试验，能否用已经学过的知识（古典概型）解决这一问题.

设计意图

为引入随机数及蒙特卡罗方法作铺垫；启发学生解决问题的欲望.

预期效果

认识到非古典概型的客观存在性，同时感受到这不是一个用已经学过的知识就能解决的问题. （1）理解随机数、（伪）随机数的概念；（2）能用计算器产生伪随机数；（3）能用rand(6)+1模拟掷骰子；（4）能根据算法编程模拟掷1000次骰子试验，解决本问题. 教师：提出问题. 引导学生复学生：思考问题，复习古典概型；体会用试验习古典概型；方法求出随机事件出现的频率，并以此来估计体会用试验概率的方法；总结用频率估计概率的步骤. 方法求出随教师：教师指出掷一个骰子1次，骰子向上一机事件出现面的点数就是一个随机数，由此给出随机数的的频率，并以概念.

此来估计概学生：体会、理解随机数的概念，并思考此处率的方法；认随机数的变化范围.

识到人工试教师：介绍用计算器产生伪随机数的方法，并验耗时费事，介绍伪随机数的概念，例如随机函数并由此引出“rand(6)”表示产生0-5之间的整数值（伪）随机数和伪随机数，教师演示操作过程（见附注1图1）. 随机数的概学生：（1）随着教师在投影仪上演示的操作步念，在学习过骤，在自己的计算器上操作随机函数产生随机程中体会学数；（2）思考如何借助于“rand()”函数产生习（伪）随机1-6间的整数值（伪）随机数.从而达到模拟数的必要性，掷一次骰子的试验；（3）想象一个骰子掷1000介绍用计算次是否是一件容易实现的事情.

器产生伪随师生：（1）复习算法的循环结构，写出程序框机数的方法.

图；根据框图将程序输入计算器，进行随机模拟试验（见附注1图2、图3）.

【问题３】在一个教师：给出问题，启发学生思考.

为解决[问题盒子中装有形状大学生：分析（1），体会从盒子中随机摸一球，1]建立概率模小完全一样，但分球上所标的数字与随机数的联系；利用古典概型；让学生经别标有 0，1，2，型，计算出从盒子中随机摸一球，球上所标的历用蒙特卡3，4，5，6，7，8，数字不超过3的概率.

罗方法来估9的十个球.（1）教师：在学生得出（2）的概率为40%后，启计古典概型从盒子中随机摸一发学生思考（3）.

中随机事件球，球上所标的数学生：明确通过模球试验估计概率麻烦，从而的概率的过字是什么？

尝试用计算器产生随机数去模拟模球过程.

程，体会在算（2）从盒子中随机师生：教师引导学生分析用计算机模拟试验的法思想指导摸一球，球上所标过程，写出算法步骤，画出程序框图，并按照下，用蒙特卡的数字不超过3的程序框图编写程序，输入计算器运行程序，进罗方法计算概率是多少？（3）行具体的模拟过程（见附注2）. 概率估计值如何用计算器产生的重要意义.

随机数去估计（2）中的概率，具体步骤怎样？

认识到从盒子中随机摸一球，球上所标的数字是随机数；用古典概型求出（2）中的概率是40%；明确本问题是解决[问题1]的铺垫；在模拟过程中体会蒙特卡罗方法；在算法思想指导下实现模拟过程.

【问题４】[问题1]中的“每一天下雨的概率均为40%”是不好试验的，但由[问题3]我们知道“从标有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的十个球中随机摸出一球，球上所标的数字不超过3的概率也是40%”，这个属古典概型的摸球过程不仅可以试验，而且还可以通过计算器产生随机数来模拟试验.你能设计一个算法解决[问题1]吗？

【问题５】你能从用蒙特卡罗方法解决[问题1]的过程中，得出用于模拟的概率模型的基本特征吗？你是否可以建立另一个概率模型用于模拟[问题1]中的随机事件？

【问题６】你能举出一个用蒙特卡罗方法解决实际问题的实例吗？并说明使用蒙特卡罗方法时应该注意哪些方面？

师生：分析“每一天下雨的概率均为40%”这一事件不好试验，而问题3我们知道“从标有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的十个球中随机摸出一球，球上所标的数字不超过3的概率也是40%”，这个属古典概型的摸球过程不仅可以试验，而且还可以通过计算器产生随机数来模拟试验.

学生：（1）设计模拟上述摸球试验的算法，即模拟出1天的天气情况(下雨或者不下雨)；（2）分组进行上述模拟试验；（3）小组讨论，设计模拟3天恰有两天下雨的算法（见附注3）. 师生：（1）分析如何解决[问题1]；（2）写出程序框图（特别注意两个循环结构）；（3）将程序输入计算器进行模拟试验（见附注4）. 学生：重复运行上述程序，逐渐增大模拟试验的次数n，观察每次运行程序后所得结果（见附注5）. 教师：介绍蒙特卡罗方法及其应用的广泛性，以及其基本原理、基本步骤. 教师：引导学生认识用于随机模拟的概率模型的基本特征：由概率模型计算出的概率与被模拟的随机事件的概率相同；对所建概率模型进行模拟试验时，试验结果能用随机数表示. 学生：思考并交流自己所建立的用于模拟的概率模型，比如建立以下的概率模型：“求从标有1，2，3，4，5的五个球中随机摸出一球，球上所标的数字是1或2的概率”，这个概率也是40%，并且能用随机函数产生随机数的方式来表示摸球结果.

学生：分组讨论举出例子，各组派出代表发言，同学间进行交流. 教师：评析学生的观点与结论，总结本节课内容与方法. 使学生在解决前面问题的基础上，完整的体会蒙特卡罗方法，进一步体会算法思想的应用，彻底解决[问题1].

体会不好试验的随机事件如何建立概率模型进行模拟试验；

体会并明确蒙特卡罗方法；认识到所求概率的估计值的近似程度是随着n的增大而提高的；彻底解决[问题1]. 让学生认识到用于模拟的概率模型不是唯一的，并通过建立另一个概率模型用于模拟试验，进一步体会蒙特卡罗方法的作用

开拓学生视野，体会思想方法，小结本课内容.

认识到用于随机模拟试验的概率模型所具有的基本特征；明确对于确定的随机事件，用于模拟试验的概率模型不惟一. 在发表意见的同时总结本节课内容

7．评价分析

在教学评价方面，本节课为学生提供两道实际问题，（力图体现数学源于生活，生活孕育数学的思想，从而让学生体会数学的应用价值），要求学生采用小组合作的方式（每小组8名同学共同来分析、讨论、研究和解决问题），从两道题中任选一题，进行解答. 1.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，那么在这三天中，有几天下雨的可能性大一些呢？

2．假设每个人在任何一个月出生是等可能的，利用随机模拟的方法，估计在一个有10个人的集体中至少有两个人的生日在同一个月的概率. 3．某城市的电话号码是8位数，如果从电话号码本中任指一个电话号码，求：

（1）头两位数码都是8的概率；

（2）头两位数码都不超过8的概率；

（3）头两位数码不相同的概率. 对第1个问题，若用列举法计算概率很困难；而对第2个问题，因学生还没学过排列、组合这些计数方法，故难以用古典概型计算计算出概率.但对以上两个问题，若用随机模拟的方法求出概率的近似值却是可行的.这两个问题的目的就是用以巩固学生对蒙特卡罗方法和算法思想的理解，让学生体会随机模拟的优点，使学生头脑中的思想之“河”流经更多的知识之“桥”，并使这条河的水更清澈，更流畅，更致远，……

8．附注

附注1

开始

输入试验次数n

m=0:j=1

j

≤

n?

否

是

x=RAND(6)+1

x=1? 否

是

m=m+1

j=j+1

输出m/n

结束

图2（程序框图）

图1

图3（程序及运行结果）

附注2

开始

输入试验次数nm=0:j=1

j≤n? 是

x=RAND(10)

否

否

x≤3?

是

m=m+1

j=j+1

（程序及运行结果）

输出m/n

结束

（程序框图）

附注3

附注4

开始

输入试验次数nm=0:j=1

j≤n? 是

a=0:k=1

否

k=k+1

a=a+1

是

x≤3? x=RAND(10)

k≤3? 否

是

否

程序及运行结果

a=2?

否

是

m=m+1

j=j+1

输出m/n

结束

程序框图

附注5