信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象优秀课堂实录

2017三角函数大题综合训练

一．解答题（共30小题）

1．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=

（1）求角C的大小，

（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．

2．（2016•广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知23cosBcosC+2=3sinBsinC+2cosA．

（I）求角A的大小；

（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．

3．（2016•成都模拟）已知函数f（x）=cosx﹣（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合；

（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值．

4．（2016•台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c=a+b﹣ab．

（1）求角C的值；

（2）若b=2，△ABC的面积

5．（2016•惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=（Ⅰ）求△ACD的面积；

（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．

．

，求a的值．

2222sinxcosx﹣sinx．

2

6．（2015•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB==，ac=2，求sinA和c的值．

，sin（A+B）

1

7．（2015•新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sinB=2sinAsinC．

（Ⅰ）若a=b，求cosB；

（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．

8．（2015•湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．

（Ⅰ）证明：sinB=cosA；

（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．

9．（2015•新课标II）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

（1）求；

，求BD和AC的长．

2（2）若AD=1，DC=

10．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．

（Ⅰ）证明：B﹣A=；

（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

11．（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．

（Ⅰ）求C的大小

（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．

12．（2015•河西区二模）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．

（Ⅰ）求B．

（Ⅱ）若sinAsinC=

13．（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=﹣a=c．

（1）求tanC的值；

（2）若△ABC的面积为3，求b的值．

14．（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，与=（cosA，sinB）平行．

2 222，求C．

，b2b）

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．

15．（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．

（1）求BC的长；

（2）求sin2C的值．

16．（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．

（Ⅰ）求a和sinC的值；

（Ⅱ）求cos（2A+）的值．

17．（2015•怀化一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．

（1）求角A；

（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．

18．（2015•甘肃一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．

（Ⅰ）求cosB的值；

（Ⅱ）若，且，求a和c的值．

19．（2015•衡水四模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在x=（1）当处取得最大值．

时，求函数f（x）的值域；

，求△ABC的面积．

（2）若a=7且sinB+sinC=

20．（2015•潍坊模拟）已知函数f（x）=2cosx+2（Ⅰ）当x∈[0，2sinxcosx（x∈R）．

]时，求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．

3

21．（2015•济南二模）已知向量函数f（x）=．

=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面积S．

22．（2015•和平区校级三模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．

（1）求cosB的值；

（2）求sin2A+sinC的值．

23．（2015•洛阳三模）在锐角△ABC中，=

（1）求角A；

（2）若a=，求bc的取值范围．

24．（2015•河北区一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若

25．（2015•云南一模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且=（sinA+sinB+sinC，sinC），=（sinB，sinB+sinC﹣sinA），若（1）求A的大小；

（2）设

为△ABC的面积，求的最大值及此时B的值．

，，求△ABC的面积．

26．（2015•历下区校级四模）已知向量若．

，，（Ⅰ）

求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）

已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，（A为锐角），2sinC=sinB，求A、c、b的值．

4

27．（2015•高安市校级模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin（A+）+2cos（B+C）=0，

（1）求A的大小；

（2）若a=6，求b+c的取值范围．

28．（2015•威海一模）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin（B﹣A）=cosC．

（Ⅰ）求A，B，C；

（Ⅱ）若S△ABC=3+，求a，c．

29．（2015•新津县校级模拟）已知向量，函数f（x）=（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B）=1，b=求△ABC的面积．

．

，，sinA=3sinC，30．（2015•和平区二模）在△ABC中，角A，B，C为三个内角，已知cosA=，cosB=，BC=5．

（Ⅰ）求AC的长；

（Ⅱ）设D为AB的中点，求CD的长．

5

三角函数大题综合训练

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）

1．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=

（1）求角C的大小，

（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；

（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．

【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，

∴由正弦定理化简已知等式得：=，

整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，

∵sinA≠0，

∴cosC=﹣，

∵C为三角形内角，

∴C=；

（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，

∴由余弦定理得：c=a+b﹣2abcosC，即4=a+b+ab≥2ab+ab=3ab，

∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），

∵S=absinC=ab≤，

，此时a=b=．

，

22222∴当a=b时，△ABC面积最大为则当a=b=时，△ABC的面积最大为【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

2．（2016•广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知23cosBcosC+2=3sinBsinC+2cosA．

6

（I）求角A的大小；

（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（I）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简23cosBcosC+2=3sinBsinC+2cosA，得到cosA的值，即可求解A．

（II）通过三角形的面积求出b、c的值，利用余弦定理以及正弦定理求解即可．

【解答】解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cosA，得

22cosA+3cosA﹣2=0，﹣﹣﹣﹣﹣（2分）

即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0．

解得cosA=或cosA=﹣2（舍去）．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

因为0＜A＜π，所以A=（II）由S=bcsinA=bc•．﹣﹣﹣﹣（6分）

=bc=5，得bc=20．

2又b=5，所以c=4．﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

222由余弦定理，得a=b+c﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故a=又由正弦定理，得sinBsinC=sinA•sinA=•sinA=2．﹣﹣﹣（10分）

×=．﹣﹣﹣﹣（12分）

【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．

3．（2016•成都模拟）已知函数f（x）=cosx﹣（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合；

（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值．

【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．

【专题】转化思想；综合法；解三角形．

【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的值域求得函数f（x）取得最大值时x的集合．

2sinxcosx﹣sinx．

2（Ⅱ）由条件求得cos（2C+求得它的值．

）=﹣，C=，求出sinB的值，再根据sinA=sin（B+C）【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=cosx﹣﹣sinx ）

=﹣sin2x+cos2x=+22sinxcosx﹣sinx=cosx﹣22sinxcosx+（cosx2cos（2x+），

，k∈Z}．

故函数取得最大值为，此时，2x+=2kπ时，即x的集合为

{x|x=kπ﹣

7

（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=+=﹣，

∴cos（2C+）=﹣，又A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，∴2C+=cos（2C+），∴C=．

∵cosB=，∴sinB=，

∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+=．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的值域，同角三角函数的基本关系，属于中档题．

4．（2016•台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c=a+b﹣ab．

（1）求角C的值；

（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值．

222【考点】余弦定理；三角形的面积公式．

【专题】解三角形．

【分析】（1）利用余弦定理，可求角C的值；

（2）利用三角形的面积公式，可求a的值．

【解答】解：（1）∵c=a+b﹣ab，∴cosC=∵0°＜C＜180°，∴C=60°；

（2）∵b=2，△ABC的面积∴=，

，

222=，

解得a=3．

【点评】本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，正确运用公式是关键．

5．（2016•惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=（Ⅰ）求△ACD的面积；

（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．

．

8

【考点】余弦定理的应用；正弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；

（Ⅱ）利用余弦定理求出AC，通过BC=2，利用正弦定理求解AB的长．

【解答】（共13分）

解：（Ⅰ）因为∠D=2∠B，所以

因为∠D∈（0，π），

所以

因为

AD=1，CD=3，

所以△ACD的面积，

．…（3分）

．…（5分）

．…（7分）

222（Ⅱ）在△ACD中，AC=AD+DC﹣2AD•DC•cosD=12．

所以

．…（9分）

因为

所以

，，…（11分）

．

所以

AB=4．…（13分）

【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查．

6．（2015•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB==，ac=2，求sinA和c的值．

，sin（A+B）【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．

【专题】解三角形．

【分析】①利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得；

②利用正弦定理解之．

【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=sin（A+B）=所以sinA+得27sinA﹣6解得sinA=2，

，ac=2cosA=，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=22，

，结合平方关系sinA+cosA=1，

sinA﹣16=0，

或者sinA=﹣（舍去）；

由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，

②由正弦定理，

9

所以a=2c，又ac=2，所以c=1．

【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角函数的基本关系式、正弦定理等知识．

7．（2015•新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sinB=2sinAsinC．

（Ⅰ）若a=b，求cosB；

（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【专题】解三角形．

22【分析】（I）sinB=2sinAsinC，由正弦定理可得：b=2ac，再利用余弦定理即可得出．

（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．

2【解答】解：（I）∵sinB=2sinAsinC，

由正弦定理可得：代入可得（bk）=2ak•ck，

2∴b=2ac，

∵a=b，∴a=2c，

22＞0，

由余弦定理可得：cosB=2==．

（II）由（I）可得：b=2ac，

∵B=90°，且a=，

22∴a+c=2ac，解得a=c=．

∴S△ABC==1．

【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8．（2015•湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．

（Ⅰ）证明：sinB=cosA；

（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．

【考点】正弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．

（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，可得sinB=，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C．

【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．

2

10

∴=tanA，

∵由正弦定理：∴=，

，又tanA=，

∵sinA≠0，

∴sinB=cosA．得证．

（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，

∴sinB=，

∵0＜B＜π，

∴sinB=，

2∵B为钝角，

∴B=，

，

又∵cosA=sinB=∴A=，

∴C=π﹣A﹣B=综上，A=C=，

，B=．

【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．

9．（2015•新课标II）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

（1）求；

，求BD和AC的长．

（2）若AD=1，DC=【考点】正弦定理；三角形中的几何计算．

【专题】解三角形．

【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=．

，sin∠C=，从而得解

11

（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．

【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，

∵==2 ∴BD=2DC，

∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC 在△ABD中，在△ADC中，∴====．…6分

=．

，∴sin∠B=，∴sin∠C=

；

（2）由（1）知，BD=2DC=2×过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，

∵AD平分∠BAC，

∴DM=DN，

∴==2，

∴AB=2AC，

令AC=x，则AB=2x，

∵∠BAD=∠DAC，

∴cos∠BAD=cos∠DAC，

∴由余弦定理可得：∴x=1，

∴AC=1，

∴BD的长为=，

，AC的长为1．

【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．

12

10．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．

（Ⅰ）证明：B﹣A=；

（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

【考点】正弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；

（Ⅱ）由题意可得A∈（0，2），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）+，由二次函数区间的最值可得．

==，

【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得∴sinB=cosA，即sinB=sin（又B为钝角，∴∴B=+A∈（；

+A）

，π），

+A，∴B﹣A=（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A+∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（2+A）=﹣2A）

﹣2A＞0，

=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sinA =﹣2（sinA﹣）+，

∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，

22∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）+≤

，]

∴sinA+sinC的取值范围为（【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．

11．（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x+（p∈R）两个实根．

（Ⅰ）求C的大小

（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．

【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．

【专题】函数的性质及应用；解三角形．

2px﹣p+1=0

13

【分析】（Ⅰ）由判别式△=3p+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=的范围即可求C的值．

（Ⅱ）由正弦定理可求sinB=tanA=tan75°，从而可求p=﹣=，结合C2，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求（tanA+tanB）的值．

2【解答】解：（Ⅰ）由已知，方程x+2=3p+4p﹣4≥0，

所以p≤﹣2，或p≥．

px﹣p+1=0的判别式：△=（p）﹣4（﹣p+1）2由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．

所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，

从而tan（A+B）=所以tanC=﹣tan（A+B）=所以C=60°．

，

=﹣=﹣．

（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB=解得B=45°，或B=135°（舍去）．

于是，A=180°﹣B﹣C=75°．

==，

则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．

所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．

【点评】本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．

12．（2015•河西区二模）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．

（Ⅰ）求B．

（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．

【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数．

【专题】解三角形．

【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；

（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．

14

【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）﹣b=ac，

222∴a+c﹣b=﹣ac，

∴cosB==﹣，

22又B为三角形的内角，

则B=120°；

（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，

∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，

∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，

则C=15°或C=45°．

【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

13．（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=﹣a=c．

（1）求tanC的值；

（2）若△ABC的面积为3，求b的值．

【考点】余弦定理．

【专题】解三角形．

，b222【分析】（1）由余弦定理可得：a=（2）由【解答】解：（1）∵A=﹣c，

又b﹣a=c．∴∴a=b﹣222222，已知b﹣a=c．可得，即可得出tanC=×=3，可得c，即可得出b．

，∴b﹣a=22222，．

．利用余弦定理可得cosC．可得sinC==，∴由余弦定理可得：bcbc﹣c=c．∴，即a=．

22b=c．可得，

=∴cosC===．

∵C∈（0，π），

15

∴sinC=∴tanC=（2）∵解得c=2∴．

=3．

=2．

=．

=×=3，

【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14．（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，与=（cosA，sinB）平行．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．

【考点】余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．

【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；

（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．

b）【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，所以asinB﹣所以tanA=（Ⅱ）a=b）与=（cosA，sinB）平行，

sinBcosA=0，因为sinB≠0，

=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣，可得A=；

222，b=2，由余弦定理可得：a=b+c﹣2bccosA，可得7=4+c﹣2c，解得c=3，

=．

2△ABC的面积为：【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．

15．（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．

（1）求BC的长；

（2）求sin2C的值．

【考点】余弦定理的应用；二倍角的正弦．

【专题】解三角形．

【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可．

（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．

【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC=AB+AC﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，

所以BC=．

，则sinC===，

222（2）由正弦定理可得：

16

∵AB＜BC，∴C为锐角，

则cosC===．

=．

因此sin2C=2sinCcosC=2×【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．

16．（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．

（Ⅰ）求a和sinC的值；

（Ⅱ）求cos（2A+）的值．

【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．

【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；

（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+），然后直接求解即可．

，△ABC的面积为3，【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=可得：，

222可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a=b+c﹣2bccosA，可得a=8，

，解得sinC=（Ⅱ）cos（2A+sin2Asin=；

﹣=．

）=cos2Acos【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力．

17．（2015•怀化一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．

（1）求角A；

（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．

【考点】正弦定理；余弦定理的应用．

【专题】计算题．

【分析】（1）把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；

17

（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值，求出bc的值，记作①；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作②，联立①②即可求出b与c的值．

【解答】解：（1）由正弦定理sinCcosA，

∵C为三角形的内角，∴sinC≠0，

∴sinA﹣cosA=1，

整理得：2sin（A﹣∴A﹣=或A﹣）=1，即sin（A﹣=，

）=，

==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣解得：A=则A=；

或A=π（舍去），

（2）∵a=2，sinA=∴bcsinA=bc=22，cosA=，△ABC的面积为，即bc=4①；

222，

∴由余弦定理a=b+c﹣2bccosA得：4=b+c﹣bc=（b+c）﹣3bc=（b+c）﹣12，

整理得：b+c=4②，

联立①②解得：b=c=2．

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

18．（2015•甘肃一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．

（Ⅰ）求cosB的值；

（Ⅱ）若，且，求a和c的值．

22【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．

【专题】计算题；转化思想．

【分析】（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．

（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a+b=12，再根据完全平方式易得a=c=．

【解答】解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，

故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，

可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，

即sin（B+C）=3sinAcosB，

可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，

22

18

因此（II）解：由．（6分）

，可得accosB=2，

，

由b=a+c﹣2accosB，

22可得a+c=12，

2所以（a﹣c）=0，即a=c，

所以．（13分）

【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．

19．（2015•衡水四模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在x=（1）当处取得最大值．

222时，求函数f（x）的值域；

，求△ABC的面积．

（2）若a=7且sinB+sinC=【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．

【专题】解三角形．

【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数（fx）的解析式为sin（2x﹣A），由于函数在处取得最大值．令，其中k∈z，解得A的值，

（1）由于A为三角形内角，可得A的值，再由x的范围可得函数的值域；

（2）由正弦定理求得b+c=13，再由余弦定理求得bc的值，由△ABC的面积等于算出即可．

【解答】解：∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA =2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA =sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A）

又∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在∴即，其中k∈z，

，其中k∈z，

处取得最大值．

，（1）∵A∈（0，π），∴A=∵，∴2x﹣A

19

∴（2）由正弦定理得到即2，即函数f（x）的值域为：，则sinB+sinC=sinA，

，∴b+c=13 222由余弦定理得到a=b+c﹣2bccosA=（b+c）﹣2bc﹣2bccosA 即49=169﹣3bc，∴bc=40 故△ABC的面积为：S=．

【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正、余弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题．

20．（2015•潍坊模拟）已知函数f（x）=2cosx+2（Ⅰ）当x∈[0，2sinxcosx（x∈R）．

]时，求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．

【考点】正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．

【专题】解三角形．

【分析】（I）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为，k∈z，求得x的范围，结合的递增区间．

（Ⅱ）由f（C）=2，求得sinA）与向量=（2，sinB）共线，可得

﹣ab ②，由①②求得a、b的值．

【解答】解：（I）∵令解得∵（Ⅱ）由，即，∴f（x）的递增区间为，得．

．

=，

，

=．

．令，可得f（x），结合C的范围求得C的值．根据向量=（1，，故有=

①，再由余弦定理得9=a+b22

20

而C∈（0，π），∴，∴，可得，

．

∵向量向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，∴由正弦定理得：=

①．

由余弦定理得：c=a+b﹣2ab•cosC，即9=a+b﹣ab ②，

22222由①、②解得．

【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的增区间，正弦定理、余弦定理的应用，两个向量共线的性质，属于中档题．

21．（2015•济南二模）已知向量函数f（x）=．

=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面积S．

【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．

【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调性即可确定出函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）由第一问确定出的f（x）解析式，根据f（A）=确定出A的度数，再由a，sinB的值，利用正弦定理求出b的值，同时利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式求出sinC的值，利用三角形面积公式即可求出S．

【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（cos（2x﹣2），cosx+sinx），2=（1，cosx﹣sinx），

）），

∴函数f（x）=•=cos（2x﹣+cos2x=cos2x+令﹣+2kπ≤2x+）+cosx﹣sinx=cos（2x﹣sin2x=sin（2x+sin2x+cos2x=cos2x+≤+2kπ（k∈Z），得﹣+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），

则函数f（x）的单调递增区间为[﹣（Ⅱ）由f（A）=sin（2A+）=+kπ，+kπ]（k∈Z）；

）=，

，得sin（2A+，

∵A为△ABC的内角，由题意知0＜A＜∴＜2A+＜，

21

∴2A+=，

，

，

=，

×+×=，

，得b==，

解得：A=又a=2，B=∴由正弦定理∵A=，B=∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=snAcosB+cosAsinB=则△ABC的面积S=absinC=×2××=．

【点评】此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，以及三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

22．（2015•和平区校级三模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．

（1）求cosB的值；

（2）求sin2A+sinC的值．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．

【分析】（1）运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式，即可得到cosB；

（2）由二倍角的正弦和余弦公式，以及诱导公式，化简计算即可得到．

【解答】解（1）∵∴cosB=cos（，

+A）=﹣sinA，

，

又a=3，b=4，所以由正弦定理得

所以=，

2所以﹣3sinB=4cosB，两边平方得9sinB=16cosB，

22又sinB+cosB=1，

所以所以

（2）∵，

，而．

，

2

22

∴∵，

，

∴2A=2B﹣π，

∴sin2A=sin（2B﹣π）=﹣sin2B =又A+B+C=π，

∴，

2

∴sinC=﹣cos2B=1﹣2cosB=∴．

．

【点评】本题考查正弦定理和运用，考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和诱导公式，以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题．

23．（2015•洛阳三模）在锐角△ABC中，（1）求角A；

（2）若a=，求bc的取值范围．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．

=

【分析】（1）由余弦定理可得：a+c﹣b=2accosB，代入已知整理可得sin2A=1，从而可求A的值．

（2）由（1）及正弦定理可得bc=，根据已知求得角的范围，即可求得bc的取值范围．

222【解答】解：（1）由余弦定理可得：a+c﹣b=2accosB，

，

∴sin2A=1且，

222（2），

又∴b=2sinB，c=2sinC，

，

bc=2sin（135°﹣C）•2sinC=，

，

23

∴．

【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．

24．（2015•河北区一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．

【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）由2cosAcosC+1=2sinAsinC 化简求得得B的值．

（Ⅱ）由余弦定理

代入求得ac的值，再根据，可得计算求得结果．

，把、，求得，可【解答】解：（Ⅰ）由2cosAcosC+1=2sinAsinC

得：∴2（cosAcosC﹣sinAsinC）=﹣1，

∴，∴，又0＜B＜π，∴．

（Ⅱ）由余弦定理得：，∴，

又∴，，∴，故．

，

【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．

25．（2015•云南一模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且=（sinA+sinB+sinC，sinC），=（sinB，sinB+sinC﹣sinA），若（1）求A的大小；

（2）设为△ABC的面积，求的最大值及此时B的值．

【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．

【专题】计算题；解三角形．

【分析】（1）共线向量的坐标运算可得（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC﹣sinA）=sinBsinC，再利用正弦定理将角的正弦转化为所对边的边长，再利用余弦定理即可求得A的大小；

（2）依题意，利用正弦定理====2，可求得S=bcsinA=sinBsinC，逆用两角差的余弦即可求得S+

cosBcosC取最大值及此时B的值．

24

【解答】解：（1）∵∥，

∴（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC﹣sinA）=sinBsinC 根据正弦定理得（a+b+c）（c+b﹣a）=bc，

222即a=b+c+bc，

222由余弦定理a=b+c﹣2bccosA，

得cosA=﹣，又A∈（0，π），

∴A=；

，A==，

===2，

（2）∵a=∴由正弦定理得∴b=2sinB，c=2sinC，

∴S=bcsinA=×2sinB×2sinC×∴S+cosBcosC=∴当B=C时，

即B=C=时，S+sinBsinC+=sinBsinC，

cosBcosC=cos（B﹣C），

cosBcosC取最大值．

【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查平面共线向量的坐标运算及两角差的余弦，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．

26．（2015•历下区校级四模）已知向量若．

，，（Ⅰ）

求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）

已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，（A为锐角），2sinC=sinB，求A、c、b的值．

【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．

【专题】计算题；解三角形．

【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣得函数f（x）的最小正周期．

（Ⅱ）

已知△ABC中，由

（A为锐角），求得sinA=），由此求，可得

A=．由正弦定理可得b=2c，根据

a=3，再由余弦定理求出c、b的值．

25

【解答】解：（Ⅰ）

=sinxcosx﹣cosx+=2﹣=sin（2x﹣），故函数f（x）的最小正周期为π．

（Ⅱ）

已知△ABC中，∵2sinC=sinB，∴由正弦定理可得b=2c，

∵a=3，再由余弦定理可得

9=b+c﹣2bc•cos22（A为锐角），∴sinA=，∴A=．

．

解得

b=2，c=．

【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．

27．（2015•高安市校级模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin（A+）+2cos（B+C）=0，

（1）求A的大小；

（2）若a=6，求b+c的取值范围．

【考点】正弦定理；三角函数的化简求值；两角和与差的正弦函数．

【专题】解三角形．

【分析】（1）利用两角和公式和诱导公式对原等式整理可求得tanA的值，进而取得A．

（2）根据正弦定理表示出b和c，求得b+c的表达式，化简整理，根据正弦函数的性质求得其最大值，结合两边之和大于第三边求得范围．

【解答】解：（1）由条件结合诱导公式得，sinAcos整理得sinA=cosA，

∵cosA≠0，

∴tanA=，

∵0＜A＜π，

∴A=；

，

+cosAsin=2cosA，

（2）由正弦定理得：∴∴，，

==，

∵∴，

，即6＜b+c≤12（当且仅当B=时，等号成立）

26

【点评】本题主要考查了正弦定理的运用，两角和公式的运用．考查了学生综合运用知识的能力和一定的运算能力．

28．（2015•威海一模）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin（B﹣A）=cosC．

（Ⅰ）求A，B，C；

（Ⅱ）若S△ABC=3+，求a，c．

【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．

【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，结合已知条件，通过解三角方程即可求A，B，C；

，（Ⅱ）通过S△ABC=3+【解答】解：（Ⅰ）∵，以及正弦定理即可求a，c．

，∴，

∴sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，

即

sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB，

得

sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．

∴C﹣A=B﹣C，或C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立）．

即

2C=A+B，得∴∵则∴

（Ⅱ）∵又∵即

，

，

，或，

，

（舍去）

．

，

∴．

【点评】本题考查正弦定理以及三角形的面积的求法，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．

29．（2015•新津县校级模拟）已知向量，函数f（x）=．

27

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B）=1，b=，sinA=3sinC，求△ABC的面积．

【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．

【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，整理为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；

（Ⅱ）由f（B）=1，求出B的度数，把sinA=3sinC利用正弦定理化简得到a=3c，利用余弦定理列出关系式，把b，cosB，a=3c的值代入求出a与c的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

【解答】解：（Ⅰ）∵=（2cosx，1），=（cosx，2∴f（x）=•=2cosx+2∵2x+∴x∈[﹣∈[﹣+2kπ，2sinxcosx﹣1），

），

sinxcosx﹣1=+2kπ]（k∈Z），

sin2x+cos2x=2sin（2x++kπ，+kπ]（k∈Z），

+kπ，+kπ]（k∈Z）；

∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣（Ⅱ）∵f（B）=2sin（2B+∴sin（2B+）=，即2B+）=1，

=，即B=，

∵sinA=3sinC，∴a=3c，

∵b=，b=a+c﹣2accosB，

∴a=3，c=1，

∵S=acsinB，

∴△ABC的面积为．

222【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．

30．（2015•和平区二模）在△ABC中，角A，B，C为三个内角，已知cosA=，cosB=，BC=5．

（Ⅰ）求AC的长；

（Ⅱ）设D为AB的中点，求CD的长．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【专题】三角函数的求值；解三角形．

【分析】（Ⅰ）由同角三角函数关系式由cosA=，cosB=，可求sinA，sinB的值，从而由正弦定理得即可求AC的值．

28

（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可求AB的值，可求可求得CD的值．

【解答】（本题13分）文科

解：（Ⅰ）∵在△ABC中，∴由正弦定理得，，…（4 分）

，，

，由余弦定理结合已知即．…（2 分）

即．…（6 分）

（Ⅱ）在△ABC中，AC=7，BC=5，222，

由余弦定理得AC=AB+BC﹣2AB•BC•cosB，…（8 分）

即2，

整理得AB﹣2AB﹣24=0，解得AB=6．…（10分）

∵在△BCD中，22，BC=5，2，

∴由余弦定理得CD=BD+BC﹣2BD•BC•cosB，…（11分）

即．

∴．…（13分）

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式的综合应用，属于基本知识的考

29