2.5.2 向量在物理中的应用举例教案和课堂实录

2.5《平面向量应用举例》教学设计

【教学目标】

1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐

标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题；

2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的

积极主动的探究意识，培养创新精神. 【导入新课】

回顾提问：

（1）若O为ABC重心,则OA+OB+OC=0. （2）水渠横断面是四边形ABCD,DC=1AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形为等腰梯2形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? (3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？

教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来. 新授课阶段

探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若ab，则|a||b|，且a,b所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．

教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来：

例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：

平行四边行ABCD中，设AB＝a,AD＝b，则ACABBCab（平移），DBABADab，ADb|AD|2（长度）．向量AD，AB的夹角为DAB.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果

“翻译”成几何关系．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用

例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

已知：平行四边形ABCD．

22

1

求证：ACBDABBCCDDA．

分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到ACABAD，

DBABAD，我们计算|AC|2和|BD|2．

证明：不妨设ABa，ADb，则

222222ACa+b，DBa-b，|AB|2|a|2，|AD|2|b|2．

得|AC|2ACAC( a+b)·( a+b) = a·a+ a·b+b·a+b·b=

|a|+2a·b+|b|． ①

同理,|DB|2|a|-2a·b+|b|． ②

2222①+②得 |AC|2|DB|22(|a|+|b|)=2(|AB|2|AD|2)．

22所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

师：你能用几何方法解决这个问题吗？

让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况. 师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度. 用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤：

⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

⑶把运算结果“翻译”成几何关系．

变式训练：ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设（2）用a,b表示向量AO. ABa,ACb.（1）证明A、O、E三点共线；例2 如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

分析：由于R、T是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间的关系，只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可．

2

解：设ABa，ADb，则ACa+b．

因为AR与AC共线，因此，存在实数m，使得AR=m(a+b)．

又因为BR与BE共线，因此存在实数n，使得BR=nBE= n(由ARABBR=AB nBE，得m(a+b)= a+ n(整理得(mn1)a＋(m1b- a)．

21b- a)．

21n)b＝0．

21m,mn10,3由于向量a、b不共线，所以有

解得

12mn0,n.231AC．

31同理

TCAC．

31于是

RTAC．

3所以AR所以

AR＝RT＝TC．

说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法．

探究二：（1）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？

（2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.为什么？

师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．

例3 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？

分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F、G、三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力）,就得到了问题的数学解释．

解：不妨设|F1|=|F2|，

由向量加法的平行四边形法则，物理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到

3

|F1|=|G|2cos2．

通过上面的式子我们发现，当由0~180逐渐变大时，由0~90逐渐变大，2cos2的值由大逐渐变小，因此，|F1|有小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．

师：请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：

⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？

⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？

例4 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d500m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？

分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响）

解：|v|=|v1||v2|96(km/h)，

所以，

t22d0.5603.1(min)．

|v|96答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min．

本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的船必须垂直于河岸行驶，这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系后，本例就容易解决了. 例5 已知|a|2

|b|3,a与b的夹角为60,c5a3b,d3akb,当实数k为o何值时，⑴c∥d？⑵cd？

9解：⑴若c∥d，得k；

5

4

⑵若cd，得k29.

14例6 如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，求证：①PA=EF；

②PA⊥EF. 解：以D为原点，DC为x轴正方向建立直角坐标系，则A(0,1), C:(1,0)， B:(1,1). 设DPr,则P(PA(E点为(1,22r,r). 22

22r,1r).

222222r),F:(r,0),

EF(r1,r).

222222222222r)(1r). |EF|(1r)(r).

2222|PA|(故PAEF.

而PAEF0PAEF.

例7 如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，

求证：PA+PB+PC+PD=8r. 证明:BDPDPB,ACPCPA,

|BD|2(PDPB)2|PD|22PBPD|PB|2,|AC|(PCPA)|PC|2PCPA|PA|.222222222

BD,AC为直径,故PDPB,PAPCPDPBPAPC0.

|BD|2|AC|2|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2,

即4r24r2PA2PB2PC2PD28r2.

例8 已知P为△ABC内一点，且3AP＋4BP＋5CP＝0．延长AP交BC于点D，若AB＝a，AC＝b，用a、b表示向量AP、AD．

解：∵BP＝AP－AB＝AP－a，

CP＝AP－AC＝AP－b，

又 3AP＋4BP＋5CP＝0，∴ 3AP＋4（AP－a）＋5（AP－b）＝0，

5

化简，得AP＝13a＋512b．

设AD＝tAP（t∈R），则

AD＝13t

a＋512tb． ①

又设 BD＝kBC（k∈R），

由 BC＝AC－AB＝b－a，得 BD＝k（b－a）．

而 AD＝AB＋BD＝a＋BD，

∴ AD＝a＋k（b－a）＝（1－k）a＋kb. ②

由①②，得

1t1k35解得 t

＝4． 将之代入①，有

312tk．AD＝49a＋59b．

课堂小结

利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？

（1）

建立平面几何与向量的联系，

（2）

通过向量运算，研究几何元素之间的关系，

（3）

把运算结果“翻译”成几何关系. 作业

见同步练习

拓展提升

一、

选择题

1.给出下面四个结论：

①

若线段AC=AB+BC，则向量ACABBC；

②

若向量ACABBC，则线段AC=AB+BC；

③

若向量AB与BC共线，则线段AC=AB+BC; ④

若向量AB与BC反向共线，则ABBCABBC. 其中正确的结论有 （ ）

6

A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个

2.河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静止速度大小为 （ ）

A.10m/s B. 226m/s C. 46m/s D.12m/s

3.在ABC中，若(CACB)(CACB)=0，则ABC为 ( ）

A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定

二、填空题

4.已知ABC两边的向量ABe1,ACe2，则BC边上的中线向量AM用e1、e2表示为 .

参考答案

1.B 2.B 3.C 4.AM

1(e1e2)

2

7