3.3.2 均匀随机数的产生教学设计第二课时

3.3.2 均匀随机数的产生

设计思路：

本课选自人民教育出版社（数学必修3）A版第三章《概率》中“几何概型”的第二课时《3.3.2均匀随机数的产生》。本节设计思路是由例题引入，以问题形式帮助学生回忆旧知识，学习新知识，完成了从上节课到本节课的一个过渡。通过两个例题，主要介绍了用计算器和计算机产生均匀随机数的方法，突出了在随机模拟实验的过程中用频率估计概率这一重要思想。两个例题都是上节课刚学过的几何概型的问题，例1与长度有关，例2与面积有关，由浅入深，循序渐进。由于考虑到课本中的例题涉及到了一些学生还未接触过的知识，比如例1，在用几何概型分析问题的时候，需要用到平面区域中线性规划的有关内容，所以用本案例中的剪绳试验代替了课本中的送报试验，将送报试验作为练习，让学生用计算机模拟实验解决该题，其实是对本节课内容的一个应用。对于课本中的最后一个例题，因为和撒豆试验是同样的思路，所以留作课后作业让学生解决。

本节的设计思路仍以新课标中的教学理念为指导思想，让学生做数学，探究数学知识，发现数学知识的过程，自主建构知识体系。让学生动起来，动起手来操作数学，动起笔来推演数学，动起脑来思考数学发现数学质疑权威，动起口来讲数学和与同学老师讨论数学；通过师生之间，同学之间的合作交往，促进学生个性的充分发展，使学生学会交往，逐步建立积极和谐的人际关系。在教学过程中有意识地培养学生热爱数学，自觉地学习数学，培养学生严谨，认真，勤于思考钻研等科学态度，使学生认识数学的实用价值和科学价值。

教学分析

本节是概率必修章节的最后一课，在学生已经掌握古典概型和几何概型的基础上，学习用适当的随机模拟法去估算几何概率。通过对本节例题的模拟实验，认识用计算机或计算器产生均匀随机数，可以在短时间内多次重复试验，对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识。对于培养学生自觉动手、动脑的习惯及辩证思想的进一步形成有良好的作用。

三维目标

1、

通过模拟试验，了解均匀随机数的概念；掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法。

2、

培养学生自己动手，主动思考，发现创新的好习惯。提高学生独立解决问题的能力。

3、

会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题，理解随机模拟的基本思想是用频率估计概率。

教学重点难点

教学重点：掌握﹝0，1﹞上均匀随机数的产生及﹝a,b﹞上均匀随机数的产生，学会采用适当的随机模拟法去估算几何概率。

教学难点：如何把未知量的估计问题转化为随机模拟问题。

教具准备：投影仪、计算机及多媒体教学。

教学过程：

一、例题引入

师：在前面我们已经学习了古典概型和几何概型，那么下面的这道题大家分析一下属于哪种概率模型。

师：有一段一米长的彩带，从任意位置剪断，剪断点有多少个？（1）

生：无数个。

师：在这个问题上加个条件，要使剪得的两段长都不小于0.3米，应如何剪？（2）

生：距两端点都为0.3米处。

师：把（2）作为事件A，则事件A发生的概率是多大？怎样计算的？

生：0.4。利用几何概型概率公式。

师：这是一道典型的与长度有关的几何概型的问题。它主要针对试验的全部结果是无限个，古典概型主要针对试验的全部结果是有限个。除了用公式求概率，还有哪些方法？

生：做试验，求频率。

师总结：用频率估计概率可以通过试验求，也可以通过计算机模拟实验产生随机数求得，这一思路在前面3.2.2整数值随机数的产生里已有体现。但整数值随机数的产生主要针对的试验结果是有限个，那么今天这个试验产生的全部结果是无限个，对应[0，1]上的任意数。这就需要产生某个区域上的随机数，也就是这节课的内容——均匀随机数的产生。（板书）

二、新知探究

1、根据整数值随机数的产生，先用计算器产生﹝0，1﹞上的均匀随机数。（计算器实际操作）

用计算器产生的﹝0，1﹞上的均匀随机数就可以对应试验的全部结果，那么事件A对应的随机数是哪些呢？

生：﹝0.3，0.7﹞上的均匀随机数。

师：在n次试验中，统计出事件A对应的随机数的个数，根据Fn(A)=nA/n求得频率，得到概率的近似值。

下面，令n=20，分小组做试验统计出A的频数，再统计出全班试验中事件A的总频数求得概率的近似值，和用公式求得的值比较。分析表格。

2、﹝a，b﹞上均匀随机数的产生

继续提出问题：如果这根彩带长3米，那么就需要产生[0，3]上的均匀随机数与试验的全部结果相对应，该如何解决这个问题？

利用计算器产生﹝0，1﹞上的均匀随机数X=RAND,然后利用伸缩和平移变换，X=X＊(b-a)+a就可以得到﹝a，b﹞上的均匀随机数，试验结果是﹝a，b﹞内任何一实数，并且是等可能的。

这样我们就可以利用﹝0，1﹞上的均匀随机数表示任意区间上的均匀随机数。通过计算器产生的均匀随机数，用随机模拟的方法估计事件的概率。

3、用计算机产生均匀随机数解决和概率有关的问题

利用均匀随机数求频率，以此估计概率在我们实际生活中很多地方都有体现，比如大家都熟悉的圆周率。（简单介绍圆周率的相关知识）

今天就用随机模拟试验产生随机数的方法求的近似值。

借助模型，给出例2：

在如图的正方形中随机撒一把豆子，用计算机模拟的方法通过求落在圆内豆子的概率估算圆周率

师：引导学生依据几何概型满足的条件设计随机模拟方法估计圆的面积。

生：回忆几何概型的定义，设计方案。

法1：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数语这个区域的面积近似成正比，即



圆的面积落在圆中的豆子数

正方形的面积落在正方形中的豆子数 假设正方形的边长为2，则

圆的面积

正方形的面积224 由于落在每个区的豆子数是可以数出来的，所以

落在圆中的豆子数

4落在正方形中的豆子数

这样就得到了的近似值。

法2：（1）用计算机产生两组﹝0，1﹞内均匀随机数a1=RAND（），b1=RAND() （2）经过线性变换，a=2a1-1,b=2b1-1 （3）求出a2+b2的值C （4）数出落在圆x2+y2=1内的点的个数N1（统计x2+y2<1的频数）。

（5）计算频率：N1，求得圆周率的近似值

N4NN1(N代表落在正方形内的点（a,b）的个数) 4、变式训练：

试想，如果换一种建系方法上面的计算过程会有怎样的变化？

可以发现，随着试验次数的增加，得到圆周率的近似值的精确度会越来越高，利用几何概型并通过随机模拟的方法可以近似计算出不规则图形的面积。

三、应用练习

假设你家定了一份报纸，送报人可能在早上6：30~7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00~8：00之间，用计算机模拟实验求父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少，。

分析：用计算机产生随机模拟实验，我们可以利用计算机产生X是0~1之间的均匀随机数，则送报人送报到家的时间是X+6.5，利用计算机产生Y是0~1上的均匀随机数，则父亲离家的时间是Y+7,如果Y+7>X+6.5,即X-Y<0.5时，事件A={父亲离家前能得到报纸}发生。

教师实际在电脑上操作。

四、课堂小结

均匀随机数在日常生活中有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（比如概率值、常数）有关，然后设计适当的试验，并通过这个实验的结果来确定这些量。

用随机模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围，用计算机可以产生大量的随机数，可以对实验结果的随机性和规律性有更深刻的认识；相信通过本节的学习一定会提高同学们的应用能力，也能解决平常不能解决的一些问题。

五、课后作业

基础作业：完成课本习题3.3的作业（必做）

提升作业：将例1、例2解题步骤改为算法语言并画出流程图。

研究性学习：利用随机模拟得方法如何计算圆锥得体积（圆锥得大小可自行确定数据）

六、课后反思

我们的新课程越来越注重理论和实际相结合，要让学生学有用的知识，有用的学。数学教学的完整目标，不仅包括发展学生认知能力，还应包括学生意志、合作能力、行为习惯及交往意识与能力等方面。我们教学的生命力不是“复制”而是“刷新”。新课程要求我们教师具备的不只是操作技能技巧，还要有直面新情况、分析新问题、解决新矛盾的本领，在更高的起点上不断实现自我超越的精神。

在这堂课中，试着通过创设情境引导学生共同讨论，将课本和现实联系起来，在解决问题过程中形成技能，并且努力尝试着给学生数学知识的同时，还给学生一双能用数学视角观察世界的眼睛；一个能用数学思维思考世界的头脑；一副为某国家富强人民幸福的心肠。

板书设计

§3.3.2 均匀随机数的产生

1、计算器RAN# 例1：A={剪得的两段长都不小于0.3米} 例2: N1 N r 2、计算机RAND() P(A)=0.4/1=0.4 N1/N≈S圆/S正方形=/4 线性变换公式： X∈[0,1] Y∈[a,b] Y=a+(b-a)X