数轴表示根号13公开课教案

《无

理

数》教

案

北京市义务教育课程改革实验教材《数学》第15册 北京教育出版社

【教学目标】：

知识与技能：

1. 了解无理数的概念和它的本质特征----无限不循环的小数； 2. 会用整数估计无理数的大小； 3. 知道无理数可以用数轴上的点表示；

过程与方法：

1.学生亲身经历无理数的发现过程，体会无理数引入的必要性,在一系列的探究活动中，让学生体验数系扩展的过程，提高学生的数学素养，形成科学的思维方式；

2.培养学生的数感和估算能力；

情感与态度：

在学生的讨论和问题解决的探索中，创造一个合作交流的学习氛围，让学生体验探索的乐趣。

【教学重点】：了解无理数的概念和它的本质特征----无限不循环的小数；

【教学难点】：无限不循环的小数与无限循环小数的区别

【教学方法与手段的选择】

在探索无理数概念过程中，我以引导为主，辅之以直观演示法，在教学手段方面，我选择了以无理数的历史故事为主线，多媒体课件辅助教学的方式，直观、形象地再现了无理数的发现过程。

【教学环节】

一、探究生活中是否存在无理数； 二、探究2是什么数； 三、探究2用小数表示时位数的无限性； 四、探究是否存在其它的无理数；

五、探究数轴上与无理数对应点的存在性。

【教学过程】

教学环节

一、

教师活动

（一）、探究生活中是否存在无理数

预计学生活动

设计意图

学生听老师讲结合数学史上创设情景

1、以希帕图斯发现无理数的历史故事为主线： 故事，并了解今关于无理数的激发学生复习引入

教师：早在两千年前的毕达格拉斯学派，有一天的学习内容。

故事，

1

个年轻的门徒叫希帕图斯，他发现如果x22，

那么x的值既不是整数也不是分数。而毕达格拉斯学派是一种有宗教信仰的保守派，希帕图斯的行为颠覆了他们对数的认识，竟然秘密杀害了希帕图斯，后人为了纪念希帕图斯为真理献身的精神，将他发现的数命名为无理数。

我们是不是应该详细了解一下无理数的知识，并好好珍惜今天的学习时光呢？

2、教师：让我们假想时光倒流了两千年，来看看希帕图斯是如何发现无理数的。

一个边长为2cm的正方形纸片，按照如图所示的方式折纸。

的兴趣。

引出研究的问题，点明课题。

学生1：阴影部引导学生了分的正方形面解2的几何积是2，应为它是大正方形面积的一半。

学生2：根据前面学的算术平意义。

问题：阴影部分的正方形的面积是多少？边长是多少？

教师小结：阴影正方形的边长恰好是边长为1cm的正方形的对角线，所以边长为1个单位长度的正方形的对角线长为2

。

二、探索（二）探究2是什么数过程： 新知

1、教师：那么到底2这个数有什么神奇的地方哪？我们来探究一下： 教师利用电脑计算器演示，

计算器显示2＝1.414213562. 教师提问：这是个近似值哪还是准确值哪？

2 方根的知识可知：边长为2

借助计算器学生看教师演引导学生思示并思考。

考2的近似值是如何求出来的。

2、教师：如果大家认为无法回答，那我们先把

4、教师推理： 因为1.41421356222＝1.999999999<2，

可设2=1.4142135622+r，0

2＝1.41421356222+2×1.414213562r＋r2，

2≈1.41421356222+2×1.414213562r…

将r看成未知数，求出r=3.7309510所以2=1.4142135622373095…

10

在学生目前推理过程随学的知识储备生的理解能力下，难以用精讲解,若学生程确的、逻辑的度差也可以不方法求得的，

讲,以免分散精所以教师不力. 要把重点放在这儿。

分层记忆概念，可降低难点，达到突出重点的目的。

5、想一想：以2为代表的无理数是什么数呢？ 引出无理数定义：无限不循环小数叫做无理数. 解读无理数概念揭示的特点：

①

首先是小数；

②

其次是无限小数；

③

最后是不循环的无限小数。

教师分层次解释无理数的特点，对学生理解很有好处。

三、区分（三）探究是否存在其它的无理数

概念

学生4：小学讲

教师提出问题：你能结合自己所学知识再举出过圆周率π，它

一些无理数的例子吗？

是个无限不循

环小数。

分类便于记忆。比如

类型一的反例是：误认为π是分数；

2教师：大家说得很好，其实无理数大致分为三

种类型： 类型一：与π有关的数；

1比如：π，π，π+1……

2

类型二：带根号且开方开不尽的数； 2比如：，2,,3,……

2

4 类型二的反例是：误认为

4是无理数

类型三：人造的数。

用数轴体会具有与2类似性质或特点的数有无数个，培养学生数形结合的思想。

让学生了解有限小数(循环节为0)和无限循环小数与分数的联系，体会转化的数学思想。

比如：0.1010010001（每隔两个1多一个0）…

π注意：是分数形式但不是分数。

2

（四）、探究数轴上无理数对应点的存在性。

1、画出无理数：

有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以用数轴上的点表示吗？

教师：你能在数轴上找到表示2的点吗？ 教师演示画图：利用边长为1的正方形的对角线的长画出2。

通过教师的比喻，学生对有理数、无理数与数轴的关系有了一定的了解。

教师：如果把数轴想象成一支铅笔，那么在只会画有理数时，这支铅笔是坑坑洼洼又漏洞的粗糙状态，而加入无理数后，这支铅笔才光滑完整。

2、对比无理数和有理数的不同：

311问题1：我们小学学过的数，比如：6,,,

学生5：

537它们的小数部分有什么特点？

注意: 1看起来除不尽，但到了小数点后第六7位又开始出现循环了。

在学生计算的基础上教师下结论：

有理数都可以用有限小数或无限循环小数表示.

5 66.030.65

10.3310.1428577

问题2：那什么样的小数可以化成分数？

比如：0.25，0.6

学生不会将0.6化为分数

教师：0.60.6106

移项：60.6100.6

合并：60.6(101)

化系数为1：0.6

学生6: 0.251

4

62

93

教师提问：为什么0.6以扩大10倍的方式化为分数呢？

在学生不会的前提下，教师可以点拨：因为0.6有1位循环节，所以扩大10倍，同理如果有2位循环节，就应扩大100倍，而无限不循环小数无法扩大相应的倍数，无法转化为分数。

教师引导学生得出结论： 有限小数或无限循环小数都可以化成分数; 有理数只能和有限小数或无限循环小数等同.

综合而言：我们学过的数就可分为两类，即无限循环小数和无限不循环小数。有限小数(循环节为0)和无限循环小数可视为无限循环小数

3、教师:从我们这一系列的探究活动中，大家能否体会到当年希帕图斯追求真知的不易，我们现在学到的许多知识都凝聚着先辈的辛勤工作，今后可得看我们的了。

6 6

学生可从中体会到数系的扩充，增强自豪感。

首尾呼应，激发学生的学习动力。

四、课堂例1.下列各数中，哪些是有理数？

落实

哪些是无理数？

学生回答

让学生能结1合概念解决π，－3.14，3，1.732，0.03，18，，38，

13

简单的问题，π25，0.484848… ，

会辨析概念。

236

0.3131131113…（两个3之间依次多一个1）

1注意小结：易错点是，教师要强调分数还是13

有理数。可顺便复习一下分数和整数统称有理

数的概念。

例2 .判断正误，在后面的括号里对的用

“√”，学生7：

错的记“×”表示，并举例说明理由：

⑴×，反例：π

(1)无理数都是开方开不尽的数( ) ⑵√

(2)无理数都是无限小数( ) 0.6

⑶×，反例：(3)无限小数都是无理数( ) ⑷×，反例：π

(4)不带根号的数都是有理数( ) ⑸×，反例：4

(5)带根号的数都是无理数( ) (6)有理数都是有限小数 ( ) 注意：无限小数包括无限循环小数如不循环小数如13

。 六、课堂归纳总结： 小结

通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？ 1. 无理数的本质特征是无限不循环；

2．探索2的过程；

3. 数形结合的思想. 七、课后作

业： P48/练习1、2、3. 作业

7 1和无限130.6

⑹×，反例：

回想一节课的重点，培养学生复习的习惯。

【板书设计】

无理数

定义： 类型：

反思: 专家意见

《无理数》这节课是一节概念课，一般的概念课教学总让学生感到有些枯燥，但概念又揭示了知识的本质，是十分重要的。为了避免这个问题，新教材在处理方式上更侧重于探索2的过程，并关注学生的学习过程。在课堂上，我结合数学史上关于无理数的故事，自然合理的提出问题：如何求出x22(x0)中的x？这是一个学生很困惑、很感兴趣且极具挑战性的问题。解决问题时：我结合计算器演示、无限逼近法以及逻辑推理法，让学生充分体会到无理数的本质特点；另外我从有限小数(循环节为0)和无限循环小数可视为无限循环小数，称为有理数，把无限不循环小数称为无理数的角度，将我们学过的数可分为两类，即无限循环小数和无限不循环小数。这样的设计从大处着眼(数集的扩充)，小处着手(无限不循环小数的存在)，突出的是思维主线，强调的是知识产生与发展的必然，展示的是数学思性思维的强大力量，既自然合谐，又层层递进，即使有些问题学生需要在老师的帮助下解决，但它己远远超出了知识教学的范畴，蕴涵着极其丰富的研究探索问题的策略，是很好的理性创新和探索的典范。本节课的整个教学设计尽力贴近学生的认知水平，以历史故事为主线让学生体会到探究精神对学习重要性，在获得新知的基础上也获得成功的喜悦，力求达到激发兴趣与落实基础双赢的目的。

多媒体辅助

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