二次根式的混合运算名师教学实录

二次根式的除法

教学目标

1．掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算；(重点) 2．能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算．(难点) 教学过程

一、情境导入

计算下列各题，观察有什么规律？

(1)3649916＝________；36＝________．

499＝________．

169. 16(2)＝________；3649________369；________4916二、合作探究

探究点一：二次根式的除法

【类型一】

二次根式的除法运算

计算：

(1)0.76；(2)－0.19221÷35；

5441. 56ab(3)；(4)5÷－52ab解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分．

解：(1)0.76＝0.1921÷320.76＝4＝2；

0.195＝－542(2)－251÷＝－354554×＝－18＝－32；

356ab(3)＝2ab6ab＝3a；

2ab/

(4)5÷－541＝－5÷5591＝－5××555151＝－×＝－. 9533方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简．

【类型二】

二次根式的乘除混合运算

计算：

(1)945÷3(2)a·ab·b2132×2222；

39b2b÷aa. 解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算．

13解：(1)原式＝9×××32(2)原式＝a·b·22845××＝183；

53baa2bab··2＝a. a9b3方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数．

探究点二：商的算术平方根的性质

【类型一】

利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围

若a2－a＝，则a的取值范围是(

) 2－aaA．a＜2 B．a≤2

C．0≤a＜2 D．a≥0

a≥0，解析：根据题意得解得0≤a＜2.故选C. 2－a＞0，方法总结：运用商的算术平方根的性质：是非负数且分母不等于零这一条件．

bb＝(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数aa【类型二】

利用商的算术平方根的性质化简二次根式

化简：

(1)71；

(2)93c42(a＞0，b＞0，c＞0)．

4ab3解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．

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解：(1)71＝93316164＝＝；

993(2)3c3cc＝23c. 42＝424ab4ab2ab方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．

探究点三：最简二次根式

在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由．

(1)45；(2)15；(3)；(4)0.5；(5)3241. 5解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可．

解：(1)45＝35，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；

(2)(3)13＝，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；

335，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简2二次根式；

(4)0.5＝(5)41＝512＝，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式；

22935＝，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．

55方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

探究点四：二次根式除法的综合运用

座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T＝2πl2，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒，假若一台g座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)? 解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数．

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解：∵T＝2π42次滴答声．

0.56060≈1.42，＝≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了9.8T1.42方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．

三、板书设计

1．二次根式的除法运算

2．商的算术平方根

3．最简二次根式

被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

教学反思

在教学中应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性质，对比、归纳得到商的算术平方根的性质．在此过程中应给予适当的指导，可提出问题让学生有一定的探索方向．在设计课堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要解决的问题，让学生自主探究，在探究过程中观察知识产生发展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得到升华，学生的创新精神得到发展．

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