习题训练优质课教案设计

课题名称：用函数思想解应用题

授课教师：王东妮

一、内容和内容解析

内容

一次函数（人民教育出版社《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册第十四章第4节课题学习

选择方案第1课时——哪种灯更省钱问题）．

内容解析

函数是近代数学最基本的概念之一，在数学发展过程中起着十分重要的作用，许多数学分支（如代数、三角、解析几何、微积分、实变函数、复变函数等）都是以函数为中心展开研究的。

一次函数属于《数学课程标准》中“数与代数”领域，是最基本的、最简单的函数.

而数与代数主要研究的就是数量关系和变化规律.函数是有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具之一，是在数与式的基础上的进一步深化. 本节课是综合应用所学的知识分析和解决实际问题从而体会一次函数在分析和解决实际问题中的重要作用，进一步感受建立数学模型的数学方法是本章的重点也是难点，为以后应用反比例函数，二次函数等函数思想解决实际问题做好铺垫。

本节课“哪种灯更省钱”是日常生活中常见的一种购物选择问题，具有较强的实际背景，关键是让学生充分明白与一盏灯的总费用有关的因素，引导学生建立总费用与照明时间的一次函数，并作为问题的数学模型，综合运用有关函数的知识（解析式和图象）对问题进行分析，从而得到哪种灯更省钱实际上是由照明时间决定的。

本节教学内容还是学生进一步体会“函数思想”“数学建模思想”“数形结合思想”的很好素材。

教学重点

建立一次函数模型解决“用哪种灯更省钱”问题

二、目标和目标解析

目标

（1）

基本知识：一次函数的基本性质在实际问题中的应用。

（2）

基本能力：综合应用所学函数知识分析和解决实际问题的能力。

（2）

基本的思想方法：函数思想、数学建模思想、数形结合思想

（3）

基本的活动经验：经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型。

目标解析

（1）通过对“用哪种灯更省钱”问题的研究，巩固深化一次函数的基本性质。

（2）建立两种灯的总费用与照明时间的一次函数模型，对函数模型进行分析。

（3）利用函数思想将“用哪种等更省钱”问题转化为函数问题，建立总费用与照明时间的一次函数模型，并通过解析式和图象两方面对总费用进行讨论。

1

(4)

在经历实际问题构建一次函数模型的过程，体会函数思想，积累建立一次函数模型的经验；

三、学情分析

本节课是在学习一次函数的基本性质及用函数的观点去看方程（组）和不等式的基础上对函数性质的进一步深化，通过对“用哪种灯更省钱”问题的探究，引导学生树立建立数学模型解决数学问题的意识，基于一次函数是学生初中阶段学习的第一种基本函数，对于函数在现实世界中的作用还没有得到应有的认识，所以如何引导学生建立总费用与照明时间之间的一次函数模式是重中之重。

教学难点

将实际问题转化为函数问题去解决。

五、教学过程设计

1．（一）、创设情境，导入新课

问题一：如果现在你的家里少一盏灯，现有一盏3元的白炽灯和一盏60元的节能灯，你如

何选择？

问题二：买一盏灯的总费用跟哪些因素有关？

问题情境：你现在是小采购员,想在两种灯中选购一种,一种节能灯的功率是10瓦(即0.01千瓦)的,售价60元;一种白炽灯的功率是60瓦(即0.06千瓦)的,售价为3元．两种灯的照明效果是一样的．使用寿命也相同(3000小时以上).

如果电费是0.5元/ (千瓦·时),选哪种灯可以节省费用? （二）尝试探索、体验新知：

问题一：节省费用的含义是什么呢？

问题二：照明灯的总费用由哪几部分组成?

问题三：如何计算两种灯的费用?

问题四：观察上述两个函数

1、若使用节能灯省钱,它的含义是什么？

2、若使用白炽灯省钱,它的含义是什么？

3、若使用两种灯的费用相等,它的含义是什么？?

引言：同学们，我们学过正比例函数，那么关于正比例函数你都学习了哪些知识呢？

（学生发言：定义、图象、性质、思想方法、应用）

师：这些内容之间有什么联系？

2

（学生发言，教师补充）

引例：某登山队大本营所在地的气温为5ºc，海拔每升高1km气温下降6ºc，登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在的位置的气温是yºc，试写出y与x之间的关系式。

（学生发言）

师：y是x的函数吗？

（学生回答）

师：我们看到实际问题中，两个变量之间的数量关系不总是k倍的关系，还有如引例中

存在的数量关系. 【设计意图】复习旧知，为新课的引出和学习奠定良好的基础。

2．入情入境，在类比中抽象出一次函数概念. （教师依次呈现下列问题。）

问题1

下列问题中变量间的对应规律可用怎样的关系式表示？（请看学案）

１．电报收费标准是每个字0.1元，电报费y（元）与字数x（个）之间的关系式。

2．有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t（℃）有关，即C•的值约是t的7倍与35的差．

3．正方形的周长为p，边长为a，周长p随边长a的变化而变化。

4．一种计算成年人标准体重G（kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值h减常数105，所得差是G的值．

5．某城市的市内电话的月收费额y（元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费（按0．1元／分收取）．

2 6．把一个长10cm，宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形面积y（cm）随x的值而变化．

【设计意图】通过六个问题得到六个函数，引导学生在分化和类化各题的特征中发现一类不同于正比例函数的函数，进而引出研究一次函数的必要性，并为下一步类比、抽象、概出一次函数的定义作铺垫。

说明：在学生独立解答完问题1后，小组内交流，统一对问题的认识。

师：问题1中的六个关系式与引例中的关系式一样，显然都是函数，我们就不一一去验证它.

问题2

观察函数（1）（2）（3）（4）（5）（6）这些函数有什么共同的特点？若把它们叫做一次函数，你能类比正比例函数的定义给出一次函数的定义吗？

【设计意图】使学生在思考、对比、分析、类比、迁移中，亲身经历一次函数的概念的构建过程. 说明：在学生独立思考后进行小组交流，探讨、然后小组汇报讨论结果.此过程中，教师也要参与学生的活动之中，了解各小组的讨论情况，了解同学质疑，并适时点拨.，共同概括出一次函数的概念，必要时可提示学生，类比一次方程、一次不等式等知识。即一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0•）的函数，•叫做一次函数。【括号内的条件，在问题3

3

之后再补写。】

教师提出本节课所学习的课题，并用规范板书一次函数的概念，强调概念中常量的范围。

3. 深入思考,在类比中理解一次函数

问题

3

定义中y=kx+b，k为什么不能等于0？b能为0吗？

说明：正比例函数是一种特殊的一次函数

【设计意图】教师的提问旨在引起学生的思维冲突，在思考中使学生理解正比例函数是特殊的一次函数.

问题4

你认为定义中的“形如”应该如何理解？（可提示学生从函数解析式的外在形式入手进行归纳）

【设计意图】深化学生对一次函数概念的理解. 说明：学生类比正比例函数概念的学习，讨论交流得出对一次函数概念中的“形如”的理解。即（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。（2）k≠0•，（3）自变量的最高次数是1。

4．拓展练习,在类比中应用

练习1

下列式子中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？

若不是一次函数请说明理由． 28（1）y =-8x；

（2）

y



（3）

y82x

（4）y0.5x8

x（5）

c





12

（6）

y



3

x



6

（7）6x+8；

（8）y+x=6 练习2

指出上题中的一次函数中k、b的值

提问：通过以上两个问题的解决，你获得了怎样的学习经验？

练习3

已知y=(m+1)x+m-1。当m______时它是一次函数。当m______时它是正比例函数. 说明：学生在独立思考基础上，小组合作完成.教师通过抽查小组最差学生的学习情况检查反馈各组学生对一次函数的概念的理解情况.

【设计意图】遵循学生的认知规律，多角度，多层次地设置习题，在类比中应用，在应用中加深学生对一次函数概念的理解.

练习4：

拖拉机开始工作时,油箱中有油36升,如果每小时耗油3升,那么油箱中余油量Y(升)与工作时间t(小时)之间的关系式是什么?工作9小时后油箱中余油量是多少? 说明：学生在独立思考基础上，小组合作完成.教师根据学生的解答过程指出，在解决实际问题时，先找到两个变量，由实际问题构建出一个一次函数模型，再用函数知识解决实际问题，这是一种函数的思想方法。

【设计意图】

通过“具体——抽象——具体”的过程，使学生进一步加深对一次函数概t7

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念的认识，并在这个过程中，体会一次函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型，感悟函数的思想.引导在学习交流中，认识到函数是解决现实问题的重要工具，提高学习数学的自信心. 增强应用数学的意识. 5．小结归纳、在类比中升华. （1）通过本节课的学习，

①对自己说，你有哪些收获？

②对同学说，你有哪些温馨提示？

③对老师说，你有哪些困惑？

【设计意图】创设反思情境，搭建交流平台，体现人文关怀。

说明：让学生从不同的角度、不同的侧面畅谈自己的感受，引发不同学生更深层次的思考，促进学生数学思维品质的优化。

（2）你能请从下列图中选择一个能表达一次函数、正比例函数之间从属关系的图，并指出它们所在的位置。

说明：学生交流完毕后，在教师的邀请下或自告奋勇，走到台前进行解答。

A B 【设计意图】学生在小结归纳的基础上，能及时将新知识纳入已有的知识系统，并进一步加深对一次函数概念的理解的基础上体会概念间的内在联系。

（3）因为一次函数与正比例函数之间的这种特殊关系，你知道对一次函数的学习，我们还需从哪些方面完成？

6.完成作业，在类比中拓展

（1）教材120页习题14.2：3题

（2）类比正比例函数的学习过程，举出一个一次函数的实例，写出它的解析式并尝试画出这个函数的图象，试探究这个函数的性质. 【设计意图】作业（1）是为巩固对一次函数的理解，作业（2）是为下节课学习一次函数的图象和性质做好铺垫，同时也是类比的学习方法应用中，进一步体会“类比思想”.

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