2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计和教学实录

平面向量的正交分解及坐标表示 一、教学目标

知识与技能：

1.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义；

2.掌握向量的坐标与点坐标的关系；

3.理解任何一个向量都有唯一坐标与之对应。

过程与方法：

通过向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，体会由特殊到一般的研究问题的方法。

情感态度与价值观：

在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。

重点：平面向量坐标表示的定义：渗透从特殊到一般的归纳，由“形”到“数”的数形结合的思想。

难点：对平面向量坐标表示生成过程的理解。

二、教学过程

复习回顾

平面向量基本定理： e1、e2是同一平面内的两个不共线非零向量，那么对于平面内的任一向如果 1122量a ，有且只有一对实数 1、2，使 aee。其中不共线向量e、e叫做表12示这一平面内所有向量的一组基底。

(1)基底不唯一，关键是不共线；

a在给出基底e(2)由定理可将任一向量 e2的条件下进行分解；

1、(3)基底给定时，分解形式唯一. 即 是由 e、e唯一确定的数量。

1、212讲授新课

（一）问题情境1：倾斜角为30度的斜面上，质量为100kg的物体匀速下滑，欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解?

1

提出问题

师：如图，在光滑斜面上的一个木块受到了那些力的作用？这些力之间有什么关系？

生：该木块受到重力G和支持力F的作用，重力G产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2．也就是说，重力G的的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2．

师：物理学中，G=F1+F2叫做把重力G分解．

类似地，由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a均可以分解为不共线的两个向量1e1、2e2，使a＝1e1+2e2．

特别地，当一组基底互相垂直时，

1

e1

与



2

e2

互相垂直，即把一个向量a分解为两个垂直的向量，叫做把向量正交分解．

对重力G的分解就是一个典型的正交分解情形．

（二）问题情境2：

师：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即点的坐标）表示．那么，直角坐标平面内的向量如何表示呢？

如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得

a＝xi＋yj

这样，平面内的任一向量a都可以x、y唯一确定，我们把有序数对(x,y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标，式子a＝(x,y)叫作向量的坐标表示.

2

根据向量坐标表示的意义，对下列特殊向量进行坐标表示：

生：i(1,0)，

j(0,1)，

0(0,0)．

（三）向量与坐标的对应关系

师：如图，在直角坐标平面中，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由向量a唯一确定．

设OAxi＋yj，则向量OA的坐标(x,y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x,y)就是向量OA的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对表示．

生讨论：“直角坐标平面内向量a的坐标就是它的终点坐标．这句话正确吗？”这种说法不正确．只有当向量a的始点是坐标原点时，向量的坐标才是它的终点坐标．

总结：，直角坐标平面内点的集合只是与这平面内从原点出发的向量的集合之间有一一对应关系．

思考1：相等向量的坐标有什么关系？

相等向量的坐标相等。

思考2：在直角坐标平面内，点的坐标与向量的坐标之间有什么关系？

向量的坐标与点的坐标存在一一对应关系。

（四）例题讲解: 例1 如图6,分别用基底i、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.

3

分析:本例要求用基底i、j表示a、b、c、d,其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合.一种方法是把a正交分解,看a在x轴、y轴上的分向量的大小.把向量a用i、j表示出来,进而得到向量a的坐标.另一种方法是把向量a移到坐标原点,则向量a终点的坐标就是向量a的坐标.同样的方法,可以得到向量b、c、d的坐标. 解:由图可知,a=AA1+AA2=xi+yj,

∴a=(2,3).

同理,b=-2i+3j=(-2,3); c=-2i-3j=(-2,-3); d=2i-3j=(2,-3).

拓展训练：

1.写出下列向量的坐标,其中 i

，j是与x轴，y轴方向相同的单位向量.

(1)a=2i+3j（2）a=2i-3j(3)a=-i-3j(4)a=-5j(5)a=-4i(1)a(2,3)(2)a(2,3)(3)a(1,3)(4)a(0,5)(5)a(4,0)2.

如图，用基底 i

，j分别表示向量 a

，，，b c d，并求出它们的坐标.

4

a2i3ja(2,3)

b2i2jb(2,2)c3i2jc(3,2)d4i2jd(4,2)a(x2,2xy5)，若向量 ,3.已知A(3,1), O为坐标原点，则aOAx=__5___,y=___-4____. 4.若向量 a(1,y+2)相等，那么（B） a(x2,3)与向量

A、x=1,y=3 B、x=3,y=1 C、x=1,y=-3 D、x=5,y=-1

（五）课堂小结: ⑴同一平面内任意向量都可以表示成为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么，平面内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量表示．

⑵通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对表示；反过来任一有序实数对就表示一个向量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对，从而给出了向量的另一种表示形式——坐标表示式．向量的线性运算都可以用坐标来进行，使得向量完全代数化，将数与形紧密地结合起来．

（六）课后作业：

⒈课本102页习题2.3 B组 ⒊

⒉

预习课本P96～P98，思考下列问题：

（1）知向量的坐标怎样进行向量的加法、减法与数乘运算？

（2）怎样求一个用有向线段表示的向量的坐标？

（3）例5的两种解法，在解题思路上有什么不同？

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板书设计：

§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 知识点回顾

⒈向量的正交分解 ⒈向量的若干概念

⒉向量的坐标表示 ⒉向量的夹角 3.向量与坐标的对应关系 3.平面向量基本定理

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