探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学设计第二课时

1．4．2：《探究与发现》

利用单位圆中的三角函数线研究正、余弦函数图象性质

教学目的：1、从函数值的定义出发理解两个视角下的任意角的正、余弦函数值之间的关系；这两个视角是指：三角函数线角度、以角和对应函数值建立有序系数对。

2、通过分析正、余弦函数的图像，能直观体会两种函数图象之间的联系和区别。

3、利用函数线直观获得对函数性质的认识，强化数形结合思想

教学重点：正、余弦函数图象的形成过程，借助三角函数线对函数性质的直观分析。

教学难点：正、余弦函数性质的理解和应用。

教学课时：1课时

教学类型：新授课

教具: 几何画板

教学过程

一．

创设问题情景，研讨性质：

三角函数线直观地表现了三角函数中自变量与函数值之间的关系；如果我们将任意角与其对应的三角函数值建立有序系数对，那么正、余弦函数的图象会是什么样的呢？这节课，我们重点研究三角函数线与三角函数图象的关系以及由三角函数线直观分析正弦函数的性质。

问题1、我们已经学习过三角函数值的定义，也学过了三角函数线可以更直观地帮助我们理解不同角的三角函数值，如果我们把角的度数作为点的横坐标，用它对应的正弦值作为点纵坐标，那么这样的点有什么样的分布特点呢？

【借助几何画板直观展示正弦函数图象的形成过程】

[设计意图] 1、帮助学生理解正弦函数图象形成的原因。2、为后面直观分析函数图象作铺垫。

[师生活动]

在观察图象的过程中，请同学们认真思考我们是如何将三角函数线转化为三角函数图象的呢？（三角函数线中的角度是如何转化为点的横坐标、三角函数函数值是如何由三角函数线转化为点的纵坐标）。

生1：在三角函数线中，每个角都会对应一个角度，三角函数线代表了与其对应的三角函数值，正弦线代表了它的正弦值，通过几何画板的展示，我们能够直观地看到只要借助一些常见的特殊角的正弦线可以画出对应的点，

再将这些点连起来，便形成了图象。

【追问】

1、刚才形成的图象上的点的横坐标是角，纵坐标是对应的正弦值，那么这段图象中角的范围是什么，如何才能将角的范围拓展到全体实数上呢？

2、我们知道余弦函数图象可以看成是正弦函数象平移得到，余弦函数图象性质的分析方法与正弦函数图象的分析方法是否相同呢？

[设计意图]1、理解正弦函数图象的周期现象，直观认识正弦函数的周期为2π。

2、为后面重点分析正弦函数图象性质作铺垫。

问题2、我们已经了解了三角函数图象的性质，具体有哪些呢？

[师生活动]先让该学生回答，不完整或不会再由其他学生补充。学生叙述完整后教师板书：

对于正弦函数：

生2：周期性、奇偶性、单调性，

【追问】余弦函数也具备这些性质吗？

[设计意图]让学生理解正、余弦函数性质的联系，为后面重点研究正弦函数性质作铺垫。

既然，余弦函数性质分析方法与正弦函数相同，那么接下来我们借助三角函数线重点研究一下正弦函数图象的周期性、奇偶性、单调性。

问题3、我相信大家能够由正弦函数图象看出正弦函数周期为2π，但是谁能根据三角函数线来解释一下函数的周期性呢？请同学们先观察几何画板中的第3页，然后认真思考一下，你是如何从正弦线看出正弦函数的周期的呢？

生3：自变量每增加或减少2π（角x的终边旋转一周），正弦函数值重复出现，即终边相同，函数值相等。所以正弦函数的最小正周期是2π。

问题4、我相信大家能够由正弦函数图象看出正弦函数为奇函数，但是谁能根据三角函数线来解释一下函数的奇偶性呢？请同学们先观察几何画板中的第4页，然后认真思考一下，你能否从正弦线解释正弦函数的奇偶性呢？

生4：由几何画板第4页的动画展示，我们直观地看出了，当两个角互为相反数时，它们的正弦值互为相反数，所以正弦函数是奇函数。

问题5、我相信大家能够由正弦函数图象看出正弦函数的单调区间，但是谁能根据三角函数线来解释一下函数的单调性呢？请同学们先观察几何画板中的第5页，然后认真思考一下，你能否从正弦线解释正弦函数的单调性呢，单调区间是根据什么规律寻找的，又是如何完整地书写的？

生5：从第5页，我们也直观地看到，当角的终边落在y轴的正半轴上时，正弦线取最大值1.当角的终边落在y轴的负半轴上时，正弦线取最小值-1，而且，当角的终边由y轴正半轴变到y轴负半轴时，正弦值由1变到-1，这是正弦值变小的过程，这个区间是减区间，当角

的终边由y轴的负半轴变到y轴的正半轴时，正弦值由-1变到1，这是正弦值变大的过程，这个区间是增区间，因为正弦函数是周期函数，所以写出一个满足条件的单调区间后，还要在区间端点写上2π整数倍，这样就可以完整地写出所的单调区间了。

【追问】

1、

刚才跟大家分享自己的看法的同学表达得很准确，分析得也非常到位，我们已经从正弦线来分析了正弦函数图象的性质，那么同学们能否模仿用正弦线分析正弦函数图像的方法，用余弦线分析余弦函数图象呢？

2、

请同学们借鉴三角函数线分析正、余弦函数性质的方法，课后尝试用三角函数线来研究一下诱导公式。

二、初步应用，理解性质

例：请研究下列函数的性质（先画草图）。

（1）y=sinx-1

（2）y=2cosx [设计意图]通过例子来理解正、余弦函数的性质，并会进行变式应用。

[师生活动]让学生先独立思考，然后说明解题思路，不完整地给予补充。

三、课堂练习，巩固知识

40页练习3 四、小结升华

三角函数线、三角函数图象是研究三角函数性质的两个不同的角度，两者之间也有密切的关联，如果要达到熟悉应用三角函数线、三角函数图象研究三角函数性质的方法，那么还需要在做专题练习的过程中不断地反思、归纳和整理。

五．布置作业

1、模仿用正弦线研究正弦函数性质的方法，完成余弦线研究余弦函数的性质。

2、模仿三角函数线研究正、余弦函数性质的方法，研究诱导公式。

六、板书设计

探究与发现：利用单位圆中的三角函数线研究正、余弦函数的性质

1、回顾正弦函数的性质

图像特征

重复出现

性质

周期性T2

图像有最高点与最低点

最值（值域）

当且仅当x22k,kZ时,y取得最大值1. 当且仅当x22k,kZ时,y取得最小值-1. 关于原点对称，

上升下降的变化趋势，

奇函数sin(-x)=-sinx 单调性

在每一个闭区间[22k,22k](kZ)上都是增函数;在每一个闭区间[22k,32k](kZ)上都是减函数. 2

对称

对称性

对称中心(k,0),kZ

对称轴为x2k,kZ

例：请研究下列函数的性质（先画草图）。

（1）y=sinx-1

（2）y=2cosx