小结第一课时教学设计

《平面向量数量积》教学设计

邓凯彦

一、

教学目标

1、知识与技能

（1）、理解平面向量数量积与投影的概念；

（2）、平面向量数量积几何意义；

（3）、掌握平面向量数量积的性质. 2、过程与方法

本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习数量积概念，随后通过学生的小组活动，探究数量积的性质，通过设置探究让学生理解数量积定义及性质并引导学生类比力在位移上的分力值得出投影的概念及数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，设置例题与变式，夯实基础，提升能力。

3、感态度与价值观

通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探究，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。

二、教学重难点

重点：平面向量数量积的概念及性质。

难点：平面向量数量积概念，平面向量数量积的几何意义的应用。

三、教学方法

情景引入→自主探究→归纳小结→实际应用。通过学生自主探究及语言讲授、多媒体的应用，以及类比法、讨论法组织整个教学过程。

四、教学过程

【导入】前几节课我们学习了向量的线性运算，他们的运算结果都是向量，那么两个向量相乘的结果会怎么样呢？首先看一个力做功的实际例子。

【讨论】地面上一个物体在力F的作用下产生位移S，同学们讨论以下几个问题：

（1）求力对物体做的功。

（2）功是标量还是矢量？

（3）功由哪些量确定？

【提问】功由力和位移决定，而力和位移在物理中都是矢量，对应我们数学的向量，那么功能否看成是两个向量运算的结果呢？这就是我们这节课要学***面向量数量积。

【板书】平面向量数量积。

一、

定义：a0,b0，夹角为，ababcos. 【提问】

1、

这个定义有个前提是这两个向量都是非零向量，那么若a或者b是零向量会怎么样呢？我们做一个规定0a0. 2、

回忆两个向量之间的夹角如何定义的？将两向量放至共起点、

所夹的角。向量间夹角的范围是什么？[0,]. 3、

注意定义中我们把什么叫做向量的数量积？数。所以，两向量做数量积的结果是个数，这跟我们之前学习的线性运算是有本质上的不同的。所以，向量的数量积的本质就是把向量转化成数量的一种运算。并且这个数量与两个向量的模以及他们夹角的余弦值有关。

【探究】若将bcos看成一个整体，请你在图中标出所对线段。

【板书】将bcos称为b在a方向上的投影。

【提问】我们知道，向量是既有大小又有方向的量，那么向量的投影我们可以用有向线段来表示，有向线段代表一个实数，所以有正有负。若a与b之间的夹角为900，则b在a方向上的投影为0；若a与b之间的夹角为钝角，则b在a方向上的投影为负数，所以投影有正有负。

【总结】所以a与b的数量积可以看成是a与b在a方向上的投影的乘积，这就是它的几何意义。

【探究】两个非零向量a与b的数量积何时为正？何时为负？与什么有关？向量之间夹角. 【总结】

1、当夹角[0,)时，数量积为正值；

并且当时，有aaa，22从而aa，所以以后，我们求一个向量模的时候可以通过向量自身的数量积来求。

2、当夹角(,]时，数量积为负值. 22

3、当900时，a与b的数量积有何性质？数量积为0. 【探究】ab与ab的大小关系。

【总结】ab≤ab.由于ab=abcos，并且cos[0,1]，所以有ab≤ab. 【提问】什么时候能够取等？当a与b共线的时候。

我们已经学***面向量数量积的概念以及性质，那么它能解决什么问题呢？

【练习】例1.已知

a



5

，

b



4

，a与b的夹角为1200,求

a



b.

例2.已知

a



1，

b



4

,且

a



b



2

,求a与b之间的夹角.

例3.如图,在

Rt

ABC中，A900，AB1，

(1).求

BA

BC.

(2).求

AB

BC.【作业】完成课时练，一线精练。